La forza gravitazionale che la massa della Terra (che supponiamo esattamente sferica, di raggio R) esercita su una massa m posta alla distanza H dalla superficie terrestre è F(H) = K·m/(R+H)², dove K è una opportuna costante, indipendente da m e da H. Quale è il lavoro (espresso in funzione di K e di R) che deve essere compiuto contro la forza di gravità per sollevare dalla superficie terrestre un oggetto di massa m
  (1)  ad una altezza H e   (2)  ad una altezza infinita?
(3)  Esprimi (con le opportune unità di misura) l'espressione (2) sapendo che R = (6.37±0.01)·106 m e K = (3.99±0.01)·1014 m3/s2

(1) L = ∫[0,H] m/(R+H)² dH = [−K·m/(R+H)]H=H − [−K·m/(R+H)]H=0 = m·(1/R − 1/(R+H))
(2) L = ∫[0,∞] m/(R+H)² dH = lim H → ∞ m·(1/R − 1/(R+H)) = K·m/R.
(3) L = K·m/R = (3.99±0.01)·1014 m3/s2 / ((6.37±0.01)·106 m) ·m = (6.26±0.03)·107 m2/s2·mM·(6.26±0.03)·107 J  dove M è il valore di m in kg.
La precisione associata all'ultimo valore deriva dal fatto che 3.98/6.38 = 0.6238... e 4/6.36 = 0.6289...

Possiamo trovare la velocità di fuga v che deve avere un proiettile lanciato verso l'alto dalla terra per allontanarsi senza fare ritorno, ossia la sua velocità inziale  (o, meglio, possiamo stimarne il valore trascurando la resistenza dell'aria, che comporta il consumo di una parte di energia: il valore che troveremo sarà una approssimazione per difetto del valore effettivo).   Occorre che l'energia cinetica iniziale sia sufficiente a compiere il lavoro necessario a sollevare la massa ad un'altezza infinita. Quindi occorre almeno che:
m·v²/2 = L (dove L è il valore trovato sopra), ossia che v = √(2·L/m) = √(2·K/R) = (1.119±0.003)·104 m/s, ovvero che v sia almeno di 1.122·104 m/s.

Volendo fare i calcoli velocemente si può ricorre al software online www.wolframalpha.com. Vedi qui.
minmax x/y where 3.99-0.01<x<3.99+0.01 and 6.37-0.01<y<6.37+0.01
    min ≈ 0.623824 at (x, y) = (3.98, 6.38)
    max ≈ 0.628931 at (x, y) = (4, 6.36)