| Un serbatoio ha la forma di cono circolare retto, con la base collocata orizzontalmente e il vertice posto in basso rispetto ad essa. Il raggio della base è di 3 m e la profondità è di 4 m. Se il serbatoio è pieno d'acqua, quanto lavoro occorre compiere contro la forza di gravità per pomparne fuori tutta l'acqua? (usa i suggerimenti forniti dalla figura a lato). | |
Esprimiamoci nelle unità di misura standard (esprimendosi in kg/m³ la densità dell'acqua è dunque 1000
e l'accelerazione di gravità è 9.8).
Uno strato d'acqua ha il volume:
dV = π·r²·dh r/h = 3/4 dV = 9/16·π·h²·dh.
La forza che esso esercita (ossia il suo peso) è:
dF = 1000·9.8·9/16·π·h²·dh.
Il dislivello che dal livello h occorre far superare a tale strato è 4−h.
Quindi il valore richiesto per sollevarlo è:
dL = 1000·9.8·9/16·π·(4−h)·h²·dh.
Dunque:
L = ∫ [0,4] 1000·9.8·9/16·π·(4−h)·h² dh =
1000·9.8·9/16·π·∫ [0,4] 4·h²−h³ dh
=
Ecco come si possono controllare i calcoli con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(h) 1000*9.8*9/16*pi*(4-h)*h^2; integral(f, 0,4)
# 369451.3
O col software online www.wolframalpha.com. Vedi qui.
integrate 1000*9.8*9/16*pi*(4-h)*h^2 dh from h=0 to 4
369451. …