Determina il baricentro di una piastra di materiale omogeneo, di forma semicircolare e di spessore costante.

CCCC

Disponiamo un semicerchio di raggio 1 nel modo illustrato a lato. Per simmetria, la ordinta yB del baricentro B è 0. Determiniamone la x. Il baricentro B è il punto in cui possiamo pensare concentrata tutta la massa per lo studio degli effetti rotatori. Quindi il momento rispetto a (0,0) di una massa concentrata in esso equivale alla somma dei momenti dovuti alle striscette verticali in cui possiamo pensare suddiviso il semicerchio. Ragioniamo sull'aree in quanto le masse (nel caso di una piastra omogenea) sono ad esse proporzionali. La striscetta di ampiezza dx e centrata in x ha area 2√(1-x²)·dx; il suo contributo al momento è x·2√(1-x²)·dx. La somma di questi contributi ∫_I2x(1-x²)^1/2dx con I = [0,1] deve eguagliare xB·AreaSemicerchio.
∫_I2x(1-x²)^1/2dx = -2/3*(1-1²)^3/2+2/3*(1-0²)^3/2 = 2/3
2/3 = xB·π/2 xB = 2/3·2/π = 4/(3π) (=0.424…).
Più in generale, se R è il raggio del cerchio il baricentro dista 4R/(3π) dal diametro che delimita il semicerchio.

Si può fare il calcolo anche con software online www.wolframalpha.com. Vedi qui.

Calcolo dell'integrale con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 2*x*(1-x^2)^0.5
integral(f, 0,1)
# 0.6666667
fraction( integral(f, 0,1) )
# 2/3

Potevo trovare il baricentro senza ricorrere al calcolo integrale usando questo script o ricorrendo a R:

# Uso centerPol che trova il centroide di una figura poligonale approssimando
# la curva con un poligono. Considero il semicerchio raffigurato sotto.
x=seq(-1,1,len=1e6); y=sqrt(1-x*x)
C = centerPol(x,y); C
# 3.551620e-15  4.244132e-01
# Se metto 0.4244132 in WolframAlpha ottengo che è un arrotondamento di 4/(3·π).
# Verifica con R:
fraction(4.244132e-01*pi)
# 4/3   OK
                              
# La figura l'ho ottenuta con:
BF=3; HF=2
PLANE(-1.1,1.1, 0,1.1)
ARC(0,0, 1, 0,180, "brown")
segm(1,0,-1,0, "brown")
POINT(C[1],C[2], "red")