Una sfera di massa 10 kg è posta a 8 m dal baricentro di una trave lunga 6 m di massa 1 tonnellata; la sfera sta lungo l'asse della trave, come nella figura a lato. L'attrazione tra le due masse rimane uguale o aumenta o diminuisce (di quanto percentualmente?) rispetto al caso in cui anche la seconda massa avesse forma sferica?

Per quanto (dato che stiamo considerando l'attrazione tra corpi su scala terrestre) si tratti di forze di lieve entità rispetto alle altre forze che possono intervenire, e ancor più lievi siano le differenze assolute tra un caso e l'altro, possiamo sicuramente affermare che la forza di attrazione è minore nel caso della trave in quanto le parti di massa agli estremi hanno una distanza maggiore dal primo oggetto rispetto alle parti vicine al baricentro, mentre nel caso della sfera, per questioni di simmetria, le differenze rispetto al baricentro dei contributi delle masse più lontane e di quelle più vicine si compensano, per cui l'effetto è come se la massa fosse concentrata tutta nel baricentro. [per inciso si noti che non è vero, come a volte si trova scritto, che la legge di gravitazione universale vale per due corpi qualunque a patto che la distanza venga calcolata tra i baricentri: questo vale se i corpi sono sferici]

Se le due masse fossero sferiche l'attrazione sarebbe k*10*1000/8² dove k è una costante pari alla costante di gravitazione universale per kg² diviso m². Nel caso della trave dobbiamo sommare i contributi di tutte le masserrelle (di massa dm) che la compongono.Ci conviene scegliere un sistema di riferimento centrato nel baricentro della trave disposto come nella figura. È sottointeso che la trave è di materiale omogeneo; la densità lineare dm/dx è 1000/6 (continuiamo a sottointendere kg/m). La masserella di ascissa x contribuisce con una forza di intensità k*10*dm/d((x,0),(0,8))² = k*10*dm/(x²+8²) = k*10*1000/6/(x²+64)dx la cui componente verticale la si ottiene moltiplicando per 8/(x²+64)^1/2: è k*10000/6*8/(x²+64)^3/2dx. La componente orizzontale è annullata da quella della masserella di ascissa -x. Quindi la forza di attrazione complessiva è

k*40000/3∫_I 1/(x²+64)^3/2 dx con I = [-3, 3], ossia k*40000/3 · (F(3) – F(–3)) con F(x) = 1/64*x/(64+x²)^1/2:
1250 k /√73
Il rapporto tra il caso della sfera e quello della trave è 1250 k /√73 / (k*10*1000/8²) = 8/√73 = 0.936; la forza di attrazione nel caso della nostra trave è inferiore del 100%-93.6% = 6.4%.

Per quanto (dato che stiamo considerando l'attrazione tra corpi su scala terrestre) si tratti di forze di lieve entità rispetto alle altre forze che possono intervenire, e ancor più lievi siano le differenze assolute tra un caso e l'altro, possiamo sicuramente affermare che la forza di attrazione è minore nel caso della trave in quanto le parti di massa agli estremi hanno una distanza maggiore dal primo oggetto rispetto alle parti vicine al baricentro, mentre nel caso della sfera, per questioni di simmetria, le differenze rispetto al baricentro dei contributi delle masse più lontane e di quelle più vicine si compensano, per cui l'effetto è come se la massa fosse concentrata tutta nel baricentro. [per inciso si noti che non è vero, come a volte si trova scritto, che la legge di gravitazione universale vale per due corpi qualunque a patto che la distanza venga calcolata tra i baricentri: questo vale se i corpi sono sferici]
Se le due masse fossero sferiche l'attrazione sarebbe k101000/8² dove k è una costante pari alla costante di gravitazione universale per kg² diviso m². Nel caso della trave dobbiamo sommare i contributi di tutte le masserrelle (di massa dm) che la compongono.Ci conviene scegliere un sistema di riferimento centrato nel baricentro della trave disposto come nella figura. È sottointeso che la trave è di materiale omogeneo; la densità lineare dm/dx è 1000/6 (continuiamo a sottointendere kg/m). La masserella di ascissa x contribuisce con una forza di intensità k10dm/d((x,0),(0,8))² = k10dm/(x²+8²) = k101000/6/(x²+64)dx la cui componente verticale la si ottiene moltiplicando per 8/(x²+64)^1/2: è k10000/68/(x²+64)^3/2dx. La componente orizzontale è annullata da quella della masserella di ascissa -x. Quindi la forza di attrazione complessiva è
k40000/3∫_I 1/(x²+64)^3/2 dx con I = [-3, 3], ossia k40000/3 · (F(3) – F(–3)) con F(x) = 1/64x/(64+x²)^1/2: 1250 k /√73 Il rapporto tra il caso della sfera e quello della trave è 1250 k /√73 / (k10*1000/8²) = 8/√73 = 0.936; la forza di attrazione nel caso della nostra trave è inferiore del 100%-93.6% = 6.4%.