Si può dimostrare che per ogni t positivo l'integrale seguente converge:  ∫ _{(0, ∞)} e^−x x^t−1 dx.  Il suo valore è indicato con Γ(t) e Γ viene chiamata funzione gamma (fu introdotta da Eulero nel 1729). Si verifichi sperimentalmente che per n intero positivo Γ(n) = (n − 1)!.

A lato sono tracciati alcuni grafici e sotto è calcolato numericamente (usando R) quanto vale l'integrale per alcuni valori interi positivi di t, e i valori di (t−1)!: F <- function(x) exp(-x)*x^(n-1) n <- 1; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 1 1 n <- 2; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 1 2 n <- 3; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 2 2 n <- 4; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 6 6 n <- 5; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 24 24 n <- 6; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 120 120 n <- 7; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 720 720 n <- 8; integrate(F,0,Inf)$value; factorial(n-1) # 5040 5040

Si può concludere, con quasi certezza, che, per t intero positivo, l'integrale converge a (t−1)!.  Si noti che per t = 1 l'integranda non è definita in 0, ma può essere estesa a tale punto prolungandola per continuità (per x ≠ 0 exp(−x)·x⁰ = exp(−x) che tende ad 1 per x → 0).

Si può effettivamente dimostrare che per t intero l'integrale converge a (t−1)! (chi vuole provi a farlo usando l'integrazione per parti per dimostrare che Γ(n+1) = n Γ(n) e poi proseguendo la dimostrazione per induzione). Questo è il motivo per cui la "funzione gamma" (detta anche secondo integrale di Eulero) è interpretabile come una generalizzazione del fattoriale. Si può dimostrare anche che Γ(1/2) = √π.

Non è difficile dimostrare che l'integrale converge per ogni t positivo (chi vuole, provi a farlo)

Con WolframAlpha ottengo:
integrate exp(-x)*x^(t-1) x=0..infinity
    G(t)
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[vedi].