Sia F: x → √x / (x2 + log(1+x)).  Studiare la convergenza di:
(a)  ∫ [1, ∞) F    (b)  ∫ (0, 1] F    (c)  ∫ (0, ∞) F

Se convergeranno ∫ [1, ∞) F e ∫ (0, 1] F avrò la convergenza di ∫ (0, ∞) F.
(b)  ∫ (0, 1] F converge in quanto, per x → 0, x2 è un infinitesimo di ordine 2 mentre log(1+x) è un infinitesimo di ordine 1, per cui F(x) va a infinito come √x / log(1+x), che è un infinito di ordine 1/2 < 1.
(a)  ∫ [1, ∞] F converge in quanto, per x → ∞, x2 è un infinito di ordine 2 mentre log(1+x) è un infinito di ordine miniore di 1, per cui F(x) va a 0 come √x / x2, che è un infinitesimo di ordine 1.5 > 1.
(c)  ∫ [0, ∞] F dunque converge.

Ecco la conferma di quanto trovato usando R: 		   

(b) Per x → 0  F(x) è un infinito di ordine 1/2 (al dividersi di x per 100 F(x) tende a dividersi per 10): 

f <- function(x) sqrt(x)/(x^2+log(1+x))
n <- c(1,2,3,4,5,6); 10^-n
# 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 1e-06
f(10^-n)
# 3.002822 9.949921 31.606963 99.995000 316.226185 999.999500
E infatti l'integrale tra 0 ed 1 converge: 
integrate(f,0,1)
# 1.694161
(a) Per x → ∞  F(x) è un infinitesimo di ordine 3/2 (al moltiplicarsi di x per 100 F(x) tende a dividersi per 1000): 
10^n
# 1e+01 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06
f(10^n)
# 3.088225e-02 9.995387e-04 3.162256e-05 9.999999e-07 3.162278e-08 1.000000e-09
E infatti l'integrale tra 1 ed ∞ converge: 
integrate(f,1,Inf)
# 1.730822
(c) Calcolo diretto dell'integrale tra 0 ed ∞: 
integrate(f,0,Inf)
# 3.424983

Potrei anche usare uno script (vedi):

[ integral of fun. - sqrt(x)/(x*x+log(1+x)) ]
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Per capire che l'integrale converge bastano alcune prove:
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3.2058735111342025  if a=0 b=100 n=1e5
0.17997995032863556  if a=100 b=10000 n=1e5
0.01799999900303325  if a=10000 b=1000000 n=1e5
0.001799999938738725  if a=1000000 b=100000000 n=1e5
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Converge a 3 e qualcosa. Per una stima più precisa:
3.2243981499016976  if a=0 b=100 n=1e8 [0.005444118204423809]
3.218954031697274   if a=0 b=100 n=1e6 [0.05447130568215641]
3.1644827260151174  if a=0 b=100 n=1e4 [0.5767492221155264]
2.587733503899591   if a=0 b=100 n=1e2 [2.587733503899591]
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10/9*0.18 + 3.2243981499016976 + 10/9*0.00544 = 3.430443   Prendendo 3 cifre
(non di più tenendo conto dei limiti delle approssimazioni prese):  3.43