Siano F: x → (e^{− x2}−1) / (x√(1+x)³)  e  G: x → ∫ _{[1, x]} F.
Determinare il campo di esistenza di F precisando dove essa è continua.
Determinare il campo di esistenza di G precisando dove essa è continua.
Stabilire se i limiti di G agli estremi dell'intervallo di definizione sono finiti o no.
Studiare la derivabilità di G,  dove G cresce e dove decresce,  il segno di G(x) al variare di x nel dominio di F.
Tracciare un grafico "qualitativo" di G.

• F è definita per gli x tali che x√(1+x)³ ≠ 0 e 1+x ≥ 0, ossia per x in (-1,0) U (0,∞). Ivi F è continua.
• Per x → 0 F(x) → 0 in quanto e^{− x2}−1 va a 0 come x². Quindi F è prolungabile per continuità ponendo F(0) = 0.
Quindi G, intendendo l'intergrale in senso improprio, è definita e continua in (-1, ∞).
• Per x → ∞  e^{− x2}−1 → −1, quindi F(x) va a 0 come 1/(x√(1+x)³), ossia come 1/x^5/2; 5/2>1, quindi G(x) converge per x → ∞.
• Per x → −1  F(x) va a ∞ come 1/√(1+x)³, ossia come 1/(1+x)^3/2; 3/2>1, quindi G(x) diverge per x → −1.
• La derivata di G coincide con F, estesa a 0; F(x), così estesa, vale 0 solo per x=0, è positiva per x < 0, negativa per x > 0.  Quindi G ha massimo in 0. G vale 0 sicuramente in 1. Siccome G(x) va a −∞ per x → −1, sicuramente G(x) vale 0 anche per un x compreso tra −1 e 0.

Rappresentazioni grafiche e calcoli realizzati con WolframAlpha:

integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..-0.75)  -0.642455 
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..-0.5)   -0.0269922
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..0)       0.199289 
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..2)      -0.15393  
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..3)      -0.217242 
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..4)      -0.247858 
integrate( (exp(-x^2)-1) / ( x*sqrt((1+x)^3) ), x=1..5)      -0.265336 

Grafico realizzato con questo script, utlizzando per G (grafico rosso) i valori calcolati con WolframAlpha. Se divido per 100 la distanza di x da -1 il valore assoluto di G(x) tende a moltiplicarrsi per 10: per x → -1 G(x) tende a -∞ come 1/(x+1)^2. Per x → ∞ G(x) tende a -0.313583 Volendo trovarre il secondo valore di x per cui G(x)=0 posso procedere per approssimazioni successive: integrando tra 0 e -0.49 trovo -0.0147577, tra 0 e -0.48 ho -0.00306297, tra 0 e -0.47 ho 0.00811643, tra 0 e -0.475 ho 0.00258969. Posso prendere -0.48 come arrotondamento. Se voglio vado avanti.

Ecco come potrei svolgere con R:

F <- function(x) (exp(-x^2)-1)/(x*sqrt((1+x)^3))
plot(F,-1,6,ylim=c(-1,6),n=500)
abline(h=seq(-1,6,1),v=seq(-1,6,1),lty=3)
abline(v=0,h=0,col="blue")
G <- function(x) integrate(F,1,x)$value
a <- -0.99; b <- 10; n=5000
for(i in 0:n){x<-a+(b-a)/n*i;points(x,G(x),pch=".",col="red")}
dev.new()
plot(F,-1,4,ylim=c(-1/2,1/2),n=500)
abline(h=seq(-1/2,1/2,0.1),v=seq(-1,4,1),lty=3)
abline(v=0,h=0,col="blue")
a<- -0.99; b<- 4
for(i in 0:n){x<-a+(b-a)/n*i;points(x,G(x),pch=".",col="red")}

Volendo approssimare il secondo valore di x per cui G(x)=0:

uniroot(G, c(-0.9, -0.3), tol=1e-10)$root
# -0.4773047