Calcolare l'area della figura illimitata compresa tra y = e^–x e y = 0 che sta nel semipiano x ≥ 0.   (nota)

Idea:  per calcolare l'area della figura illimitata compresa tra y = e–x e y = 0 che sta nel semipiano x ≥ 0 posso calcolare l'area della figura compresa tra y = e–x, y = 0, x = 0, x = k (k>0) e farne il limite per k che tende all'infinito. Per simmetria rispetto all'asse y dei grafici di y=exp(x) e y=(exp(-x) ho: ∫[0,k]e–xdx = ∫[-k,0]exdx = [ex]x=0–[ex]x=–k = 1–1/ek Questa è l'area della figura limitata a destra da x=k. Al tendere di k a ∞ 1–1/ek tende a 1: la figura illimitata che si ottiene ha area limitata (uguale a 1).

    [vedi]

Come si può controllare il calcolo dell'integrale col software online WolframAlpha:

O con R:
f = function(x) exp(-x)
integrate(f,0,Inf)$value
  1
# o (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
integral(f,0,Inf)
# 1

Ovvero usando uno script (vedi):

[ integral of fun. - exp(-x), in [0,40];  in [40,80] l'integrale è praticamente 0]
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0.9999999999873318  if a=0 b=40 n=256e4 [2.929467779466677e-11]  -> 1.00000000000
0.9999999999580371  if a=0 b=40 n=128e4 [1.2144585337381386e-10]
0.9999999998365913  if a=0 b=40 n=64e4  [4.879695536530448e-10]
0.9999999993486217  if a=0 b=40 n=32e4  [1.9529347028424127e-9]
0.999999997395687   if a=0 b=40 n=16e4  [7.812426927600313e-9]
0.9999999895832601  if a=0 b=40 n=8e4   [3.124996106329547e-8]
0.999999958333299   if a=0 b=40 n=4e4   [0.999999958333299]
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4.2483542552308635e-18  if a=40 b=80 n=256e4 [4.2483542552308635e-18]