Esitono, ed eventualmete quanto valgono:
  ∫_[1,∞) 1/x² dx     ∫_[1,∞) 1/x dx     ∫_(0,1] 1/√x dx  ?   (nota)

∫_[1,∞) 1/x² dx = 1:
lim _{x → ∞} ∫_[1,x] 1/t² dt  =  lim _{x → ∞} (-1/x+1) = 1
[è l'area tra  y = 1/x²  e  asse x  a destra della retta  y=1]

∫_[1,∞) 1/x dx non esiste:
lim _{x → ∞} ∫_[1,x] 1/t dt  =  lim _{x → ∞} log(x) = ∞

∫_(0,1] 1/√x dx = 2:
lim _{x → 0+} ∫_[x,1] 1/√t dt  =  lim _{x → 0+} (2-2√x) = 2

    [vedi]

Come si possono controllare i calcoli col software online WolframAlpha:

# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f=function(x) 1/x^2; integral(f,1,Inf)
# 1
#
f=function(x) 1/x; integral(f,1,Inf)
# Error : maximum number of subdivisions reached
f=function(x) 1/x; a=1e5; integral(f,1,a)
# 11.51293
f=function(x) 1/x; a=1e10; integral(f,1,a)
# 23.02585
f=function(x) 1/x; a=1e15; integral(f,1,a)
# 34.53878
f=function(x) 1/x; a=1e20; integral(f,1,a)
# 46.0517
## deduco che integral(f,1,Inf) è Inf
#
f=function(x) 1/sqrt(x); integral(f,0,1)
# 2

Ovvero usando uno script (vedi):

[ integral of fun. - 1/sqrt(x) ]
 - - - - - - - -
1.9999395101358346  if a=0 b=1 n=1e8 [0.00013079588260533903]
1.9998087142532293  if a=0 b=1 n=1e7 [0.00041361289667052326]
1.9993951013565587  if a=0 b=1 n=1e6 [0.0013079588212208115]
1.998087142535338   if a=0 b=1 n=1e5 [0.004136128761219826]
1.993951013774118   if a=0 b=1 n=1e4 [0.013079567608372145]
1.980871446165746   if a=0 b=1 n=1e3 [1.980871446165746]
 - - - - - - - -
È "evidente" che 1.993951013774118, 1.9993951013565587, 1.9999395101358346, ... -> 2