Esiste   ∫_[1,3] 1/(x-2)^1/3 dx ?     (nota)

L'integranda non è definita in 2, per cui il problema viene ricondotto all'esistenza degli integrali su [1,2) e (2,3], per vedere se si può porre ∫[1,3] 1/(x-2)1/3 dx = ∫[1,2) 1/(x-2)1/3 dx + ∫(2,3] 1/(x-2)1/3 dx. lim x → 2- ∫[1,x] 1/(t-2)1/3 dt  =  lim x → 2- 3/2(x-2)2/3 - 3/2(1-2)2/3 = -3/2 Quindi ∫[1,2) 1/(x-2)1/3 dx = -3/2. Analogamente si ha ∫(2,3] 1/(x-2)1/3 dx = 3/2. Dunque  ∫[1,3] 1/(x-2)1/3 dx = 0.

Ragionando per simmetria, si poteva dedurre subito che l'integrale, se esiste, deve valere 0. Per stabilire se esiste si doveva però studiare che cosa accade su (2,3] o su [1,2).

    [vedi]

Come si può controllare il calcolo dell'integrale col software online WolframAlpha:

Con R - vedi:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 1/rad3(x-2)
integral(f,1,3)
# Error in integrate(f, a, b) : non-finite function value
integral(f,2,3)
# 1.5
integral(f,2,1)
# 1.5
integral(f,1,2)
# -1.5
# Non uso 1/(x-2)^(1/3) in quanto il software non calcola x^(1/3) per x<0: vedi

Ovvero usando uno script (vedi):

[ integral of fun. - 1/pow(x-2,1/3) ]
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1.499995376454997  if a=2 b=3 n=128e5 [0.000002715875127012879]
1.49999266057987    if a=2 b=3 n=64e5 [0.000004311182931537871]
1.4999883493969384  if a=2 b=3 n=32e5 [0.000006843576584314448]
1.499981505820354   if a=2 b=3 n=16e5 [0.000010863500403024418]
1.499970642319951   if a=2 b=3 n=8e5  [0.00001724473216135891]
1.4999533975877897  if a=2 b=3 n=4e5  [0.000027374305677785316]
1.4999260232821119  if a=2 b=3 n=2e5  [0.00004345400112137909]
1.4998825692809905  if a=2 b=3 n=1e5  [0.0000689789245233996]
1.499813590356467   if a=2 b=3 n=5e4  [1.499813590356467]
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È "evidente" che  -->  1.5