Esistono   ∫_[1,∞) 1/(1+x²) dx   e   ∫_[1,∞) x/(1+x²) dx  ?

So che:
se |f(x)| ≤ g(x) su I e se g è integrabile su I, allora tale è f   (e se f non è integrabile non lo è g).

∫_[1,∞) 1/(1+x²) dx   esiste in quanto esiste  ∫_[1,∞) 1/x² dx  e se 1≤x≤∞  1/(1+x²) < 1/x²

Risolto il problema, posso controllare la soluzione con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) 1/(1+x^2); integral(F,1,Inf)
# 0.7853982

Ma  d atan(x)/dx = 1/(1+x²),  quindi ∫_[1,∞) 1/(1+x²) dx = atan(∞)−atan(1) = π/2 − π/4 = π/4 = 0.785398163397448

Come si può controllare il calcolo dell'integrale col software online WolframAlpha:

∫_[1,∞) x/(1+x²) dx   non esiste in quanto non esiste  ∫_[1,∞) 1/x dx  e se 1≤x≤∞  x/(1+x²) ≥ x/(x²+x²) = 1/2·1/x.  Posso dire che diverge a ∞.

Come si può controllare il calcolo dell'integrale col software online WolframAlpha:

Posso controllare la soluzione anche con R:
G = function(x) x/(1+x^2); integral(G,1,Inf)
# Error: maximum number of subdivisions reached
G = function(x) x/(1+x^2); n=0; a=10^n; b=10^(n+1); integral(G,a,b)
# 1.960987
G = function(x) x/(1+x^2); n=1; a=10^n; b=10^(n+1); integral(G,a,b)
# 2.29766
G = function(x) x/(1+x^2); n=2; a=10^n; b=10^(n+1); integral(G,a,b)
# 2.302536
G = function(x) x/(1+x^2); n=3; a=10^n; b=10^(n+1); integral(G,a,b)
# 2.302585
# L'integrale tra due potenze di 10 successive tende ad essere lo stesso numero positivo, e
# la somma di infiniti numeri eguali > 0 è ∞; deduco che l'integrale diverge a ∞

Qui puoi vedere come affrontare l'esercizio con un semplice script online.

[vedi]