Esiste   ∫(0,1] log(x)2 dx  ?

So (come corollario del criterio del confronto) che:
se f(x) è un infinito di ordine inferiore o uguale rispetto a g(x) per x → α e | g | è integrabile su (α,b], allora tale è | f | , e a maggior ragione lo è f.

Qundi il nostro integrale esiste in quanto esiste  ∫(0,1] 1/√x dx  e per  x → 0+  log(x)2/(1/√x) → 0 (log(x) per x che tende a 0 è un infinito trascurabile rispetto a 1/xp qualunque sia p positivo).

Come si può controllare il calcolo col software online WolframAlpha:

integrate log(x)^2 from 0 to 1
2
indefinite integral   2 x + x log^2(x) - 2 x log(x) + constant

Posso controllare la risposta anche con R:
F <- function(x) log(x)^2; integrate(F,0,1)
# 2 with absolute error < 0.00017
integrate(F,0,1,rel.tol=1e-10)
# 2 with absolute error < 6.7e-15
# L'integrale vale 2

    [vedi]

I calcoli potrebberro essere effettuati anche con degli script: vedi.