∫_(0,1) log(x) / (1−x) dx     ∫_(0,1) 1 / (√x log(x)) dx     ∫_[2,∞) 1 / (x log(x)^p) dx     (nota)

• Per la integranda funzione abbiamo da capire che cosa accade sia in 0 che in 1.
Per x → 0+ tende a −∞ come log(x), che è infinito trascurabile rispetto a 1/x^p qualunque sia p positivo. Quindi ∫_(0,1/2] log(x) / (1−x) dx converge.
Per x → 1- l'integranda tende a −1, quindi anche ∫_[1/2,1) log(x) / (1−x) dx converge. Qundi l'integrale converge tra 0 e 1.

Dopo, posso controllare la soluzione con R:
F <- function(x) log(x)/(1-x); integrate(F,0,1)
# -1.644934 with absolute error < 1.1e-07

• Il successivo intergrale è di una funzione F che tende a −∞ sia per x → 0+ che per x → 1-.
L'integrale tra 0 e 1/2 converge in quanto F(x) per x → 0+ è un infinito di ordine 1/x^α con α < 1.
L'integrale tra 1/2 e 1 diverge in quanto F(x) per x → 1- è un infinito di ordine 1.
Quindi l'integrale dato diverge.

Dopo, posso controllare la soluzione con R:
F <- function(x) 1/(sqrt(x)*log(x)); integrate(F,0,1)
# Error in integrate(F, 0, 1) : non-finite function value

• Per l'ultimo integrale abbiamo da capire solo che cosa accade all'infinito.
Vediamo che cosa si ottiene con R:
F <- function(x) 1/(x*log(x)^3); integrate(F,2,Inf)
# 1.040623 with absolute error < 9.9e-05
F <- function(x) 1/(x*log(x)^2); integrate(F,2,Inf)
# 1.438319 with absolute error < 5.7e-05
F <- function(x) 1/(x*log(x)^1.01); integrate(F,2,Inf)
# Error in integrate(F, 2, Inf) : maximum number of subdivisions reached
F <- function(x) 1/(x*log(x)); integrate(F,2,Inf)
# Error in integrate(F, 2, Inf) : maximum number of subdivisions reached

Gli ultimi casi non sono facili da risolvere con un metodo di ricerca approssimata. Facciamo il calcolo simbolico con WolframAlpha. Ottengo:
integrate 1/(x*log(x)^p) x=2..infinity
# log(2)^(1-p) / (p-1) for p > 1
Ho che il penultimo integrale converge e l'ultimo diverge.
Dunque l'integrale converge solo se p > 1.
Teoricamente possiamo procedere così.
1 / (x log(x))  (p = 1) ha per integrale indefinito log(log(x))  [u = log(x), d log(log(x)) /dx = d log(u) / du · du/dx = 1/u·1/x = 1 / (x log(x))]  e  ∫_[2,x) 1 / (x log(x)) dx = log(log(x))−log(log(2)), che per x → ∞ diverge.
Quando p è maggiore di 1 l'integrale indefinito è −1/((p−1)·log(x) ^p−1 )  e  ∫_[2,x) 1 / (x log(x)^p) dx = −1/((p−1)·log(x) ^p−1 ) + 1/(p−1)·log(2)^p−1), che per x → ∞ converge  [a  1/(p−1)·log(2)^p−1) , in accordo con quanto trovato sopra con WolframAlpha].

[vedi].