Studiare per quali numeri reali t l'integrale seguente converge:    ∫ _{[1, ∞)} e^−x x^t dx.

A lato sono tracciati i grafici dell'integranda per diversi valori di t e, sotto, è illustrato (per un particolare valore di t) quello che si può ottenere calcolando l'integrale con un programma (qui si è usato R, ma poteva usarsi un altro programma): f <- function(x) exp(-x)*x^t t <- 2; integrate(f,1,Inf)$value 1.839397 Numericamente e graficamente è facile convincersi che l'integrale esiste finito. La dimostrazione è comunque facile:

basti pensare che ∫ (1, ∞) x−2 dx converge (a sinistra, in nero, è tracciato il grafico di x → x−2) e che, da un certo punto in poi, il suo grafico sta al di sotto di quello di x → e−x xt in quanto ex per x → ∞ va all'infinito più velocemente di qualunque potenza di x. Formalmente:  e−x xt / x2 = xt−2/ ex → 0 per x → ∞. [vedi]. [vi è il modo di calcolare esplicitamente tali integrali; nei casi di t=2,3,4, ad esempio, si trovano i valori 5/e, 16/e/ 65/e; la cosa è verificabile numericamente: t <- 2; integrate(f,1,Inf)$value*exp(1)   5 t <- 3; integrate(f,1,Inf)$value*exp(1)   16 t <- 4; integrate(f,1,Inf)$value*exp(1)   65 ]

Controlliamo i calcoli con WolframAlpha:
integrate exp(-x)*x^t x=1..infinity
    G(1+t, 1)
# Esplicitiamo tale valore per alcuni t
Gamma(1-1, 1), Gamma(1+0, 1), Gamma(1+1, 1), Gamma(1+2, 1), Gamma(1+3, 1)
    0.219384, 1/e = 0.367879, 2/e = 0.735759, 5/e = 1.8394, 16/e = 5.88607
Vedi l'esercizio 10.10 sulle funzioni.