Determina dominio e immagine delle seguenti funzioni
F: x → 2x²–8x+5     G: x → 3x/(x–2)     H: x → (x³–3x²+3x–1)/(x–1)

2x²-8x+5 = 2(x-2)²-3: F ha per grafico una parabola con concavità verso l'alto e vertice sulla retta y=-3: vedi il grafico (verde) sotto a sinistra. Il suo dominio è R e la sua immagine è [-3,∞].

3x/(x-2) = 3+6/(x-2): G ha per grafico l'iperbole y=6/x traslata a destra di 2 e in alto di 3: vedi il grafico (verde) sotto al centro. Il suo dominio è {x∈R / x≠2} e la sua immagine è {x∈R / x≠3}.

y = (x³–3x²+3x–1)/(x–1) equivale (dato che la divisione ha quoz. x²–2x+1 e resto 0) a y = x²–2x+1 + 0/(x–1), ossia a y = (x–1)² AND x≠1: H ha per grafico la parabola y = (x–1)² senza vertice: vedi il grafico sotto a destra. Il suo dominio è {x∈R / x≠1} e la sua immagine è (0,∞) = {x∈R / x>0}.

Per altri commenti: funzione (2) e funz. polinomiali neGli Oggetti Matematici.

Per l'insegnante che volesse preparare esercizi simili, come realizzare i grafici in JavaScript:  di F,  di G,  di H.

Col software online WolframAlpha posso, ad esempio, battere:
domain and image of (x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)   e ottenere:    Domain: x ≠ 1     Image: y > 0

# I grafici con R (vedi qui)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")  # se non già caricato 
F = function(x) 2*x^2-8*x+5
Plane(-1,4, -4,2); graph2(F, -1,4, "brown")
abline(v=2,h=-3,col="red"); F1 = function(x) F(x+2)+3; graph2(F1, -1,4, "orange")
#
G = function(x) 3*x/(x-2)
Plane(-10,10, -5,10); graph2(G, -10,10, "brown")
abline(v=2,h=3,col="red"); G1 = function(x) G(x+2)-3; graph2(G1, -10,10, "orange")
#
H = function(x) (x^3-3*x^2+3*x-1)/(x-1) 
Plane(-1,3, 0,4); graph2(H, -10,10, "brown")
pointO(1,0,"red")