So che x F(x)+F(–x) ha per grafico una retta orizzontale. Quali caratteristiche geometriche deve avere il grafico di F?

y=F(-x) ha la stessa forma di y=F(x) a patto che cambi segno alle x (stessi output per input opposti): lo posso ottenere con un ribaltamento attorno all'asse y. Provo a ragionare su qualche F avente per grafico una retta per mettere a fuoco la situazione, come nel caso sotto a destra (x 2x+1); in questi casi si vede che la cosa funziona sempre.
Se prendo x x² invece la cosa non va: F(-x) = F(x) per cui il grafico y = F(x)+F(-x) = 2F(x) mantiene una forma simile (le y raddoppiano, per cui si dilata verticalmente).
Capisco che la somma dei due grafici diventa una retta in una situazione come quella sotto a sinistra, in cui le "salite" dell'uno compensano le "discese" dell'altro.
Questo accade quando ribaltando il grafico di F attorno all'asse y ottengo un grafico che è speculare al precedente anche rispetto a una retta orizzontale. In altre parole il grafico di F deve essere simmetrico rispetto a un punto dell'asse y.

Invece di procedere con un ragionamento puramente grafico, avrei potuto procedere lavorando sulle formule:
F(x)+F(–x) è costante; sia k il suo valore. Quindi in particolare per x=0 abbiamo F(0)+F(-0)=k. Ma 0=-0, per cui avrei 2F(0)=k, F(0)=k/2. Dunque il grafico passa per (0,k/2). Per input opposti la funzione ha output che devono avere una componente k/2 comune (che nella somma diventa k) e due componenti opposte, ossia uguali in valore assoluto e di segno diverso (che nella somma si annullino). Quindi il suo grafico deve essere simmetrico rispetto al punto (0,k/2), come nel caso illustrato a fianco (in cui F(x) = 1+x³, k=2; in questo caso 1+x³+1+(-x)³ = 2+x³-x³ = 2).
In altre parole, il grafico di F è il frutto di una traslazione verticale del grafico di una funzione dispari (ossia una funzione G tale che G(x)+G(-x)=0).
k = 2

Per altri commenti: funzione (2), funzione (2) neGli Oggetti Matematici.

y=F(-x) ha la stessa forma di y=F(x) a patto che cambi segno alle x (stessi output per input opposti): lo posso ottenere con un ribaltamento attorno all'asse y. Provo a ragionare su qualche F avente per grafico una retta per mettere a fuoco la situazione, come nel caso sotto a destra (x 2x+1); in questi casi si vede che la cosa funziona sempre. Se prendo x x² invece la cosa non va: F(-x) = F(x) per cui il grafico y = F(x)+F(-x) = 2F(x) mantiene una forma simile (le y raddoppiano, per cui si dilata verticalmente). Capisco che la somma dei due grafici diventa una retta in una situazione come quella sotto a sinistra, in cui le "salite" dell'uno compensano le "discese" dell'altro. Questo accade quando ribaltando il grafico di F attorno all'asse y ottengo un grafico che è speculare al precedente anche rispetto a una retta orizzontale. In altre parole il grafico di F deve essere simmetrico rispetto a un punto dell'asse y.

Invece di procedere con un ragionamento puramente grafico, avrei potuto procedere lavorando sulle formule:
F(x)+F(–x) è costante; sia k il suo valore. Quindi in particolare per x=0 abbiamo F(0)+F(-0)=k. Ma 0=-0, per cui avrei 2F(0)=k, F(0)=k/2. Dunque il grafico passa per (0,k/2). Per input opposti la funzione ha output che devono avere una componente k/2 comune (che nella somma diventa k) e due componenti opposte, ossia uguali in valore assoluto e di segno diverso (che nella somma si annullino). Quindi il suo grafico deve essere simmetrico rispetto al punto (0,k/2), come nel caso illustrato a fianco (in cui F(x) = 1+x³, k=2; in questo caso 1+x³+1+(-x)³ = 2+x³-x³ = 2). In altre parole, il grafico di F è il frutto di una traslazione verticale del grafico di una funzione dispari (ossia una funzione G tale che G(x)+G(-x)=0).	k = 2