Siano F: x → x |x| e G: x2 |x|, definite su R. Stabilire se sono invertibili e, in caso affermativo, trovare un'espressione esplicita della funzione inversa.
F(x) vale x2 se x ≥ 0, vale −x2 altrimenti.
La funzione è ovunque crescente, quindi è invertibile; sia H la sua inversa.
Data la simmetria del grafico rispetto ad O, abbiamo che F è dispari.
La funzione inversa di F ristretta a [0,∞) è
G(x) = x·F(x) non è quindi invertibile, in quanto
G(−x) = −x·F(−x) = −x·−F(x) = x·F(x) = G(x).
Sotto i grafici di F, G ed H (qui tracciati col computer - con R, vedi qui -
ma che bisogna saper tracciare a mano;
si noti che per descrivere H si è usata la funzione segno, ma si poteva
definire H anche a tratti, come
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") F = function(x) x*abs(x) G = function(x) x^2*abs(x) a = -2; b = 2 BF=3.5; HF=3.5 PLANE(a,b, a,b) graph1(F, a,b, "seagreen") H = function(x) sign(x)*sqrt(abs(x)) graph1(H, F(a),F(b), "blue") graph1(G, a,b, "red") text(-0.7,0.8,"G") text(-1.85,-1.15,"H") text(-1.15,-1.85,"F") |
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