Siano F: x → x |x|  e  G: x2 |x|, definite su R.  Stabilire se sono invertibili e, in caso affermativo, trovare un'espressione esplicita della funzione inversa.

F(x) vale x2 se x ≥ 0, vale −x2 altrimenti. La funzione è ovunque crescente, quindi è invertibile; sia H la sua inversa. Data la simmetria del grafico rispetto ad O, abbiamo che F è dispari. La funzione inversa di F ristretta a [0,∞) è x → √x; quindi in (−∞,0) la inversa è x → −√−x; tracciare il grafico di F e usarlo per controllare o essere guidati a trovare la risposta è assai utile.
G(x) = x·F(x) non è quindi invertibile, in quanto G(−x) = −x·F(−x) = −x·−F(x) = x·F(x) = G(x).
Sotto i grafici di F, G ed H (qui tracciati col computer - con R, vedi qui - ma che bisogna saper tracciare a mano; si noti che per descrivere H si è usata la funzione segno, ma si poteva definire H anche a tratti, come √x per x ≥ 0 e come −√−x per x < 0).

 
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) x*abs(x)
G = function(x) x^2*abs(x)
a = -2; b = 2
BF=3.5; HF=3.5
PLANE(a,b, a,b)
graph1(F, a,b, "seagreen")
H = function(x) sign(x)*sqrt(abs(x))
graph1(H, F(a),F(b), "blue")
graph1(G, a,b, "red")
text(-0.7,0.8,"G")
text(-1.85,-1.15,"H")
text(-1.15,-1.85,"F")

Per altri commenti: funzione (2) neGli Oggetti Matematici