Sia f(x) =  4 x2 + 10 x − 6 ——————— 2 x2 − 18

(A)  Individuare il dominio D di f (B)  Tracciare il grafico di f motivandone l'andamento (C)  Determinare l'immagine mediante f di  D ∩ [2,4].

(A)  2x²−18 = 2(x²−9) = 2(x−3)(x+3). Quindi il termine f(x) è definito per x in R−{3, -3}. Questo è il dominio di f.
(B)  Semplificando (per 2) ed eseguendo la divisione (vedi qui se non ti ricordi come si fa) otteniamo:

f(x) =	2 x2 + 5 x − 3	= 2 +	5 x + 15	= 2 +	5(x+3)	= 2 +	5
	——————		————		—————		——
	x2 − 9		x2 − 9		(x−3)(x+3)		x−3

dove l'ultimo termine equivale a f(x) a patto che si aggiunga la condizione x ≠ −3 in quanto il nuovo termine è definito anche per x = −3. Potevo anche osservare che 2x²+5x−3 è fattorizzabile come 2(x−1/2)(x+3) (vedi qui) e ottenere:

f(x) =	2(x−1/2)(x+3)	= 2	x − 1/2
	——————		———
	(x−3)(x+3)		x − 3

Con la prima formulazione capiamo subito che il grafico di f è quello della funzione x ∼>  5/x (una iperbole aventi gli assi coordinati come asintoti) traslato di Δx = 3 e di Δy = 2, con un "buco" al posto del punto di ascissa −3, che non appartiene al dominio di f. Con la seconda formulazione possiamo proseguire con una divisione o fare: 2  x−1/2  = 2  x−3 + 3−1/2  = 2 +  6−1  = 2 +  5 —— ————— —— —— x−3 x−3 x−3 x−3 (C)  R−{3, -3} ∩ [2,4] = [2,3) ∪ (3,4] L'immagine di [2,3), in cui f decresce, è [f(2), -∞) = (-∞, -3] L'immagine di (3,4], in cui f decresce, è (∞, f(4)] = [7, ∞). f ( [2,3)∪(3,4] ) = (-∞, -3] ∪ [7, ∞)

Col software online WolframAlpha:
plot y = (4x^2+10x-6)/(2x^2-18), y = 2, y=-3, y=7, x = -6..8, y=-4..8

domain and image of y = (4x^2+10x-6)/(2x^2-18)

f(2) if f(x) = (4x^2+10x-6)/(2x^2-18)
f(4) if f(x) = (4x^2+10x-6)/(2x^2-18)

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