Tre località A, B e C sono disposte, approssimativamente, ai vertici di un
triangolo isoscele: B e C distano tra loro 20.0 km e sono equidistanti da A;
A dista 24.0 km dalla
congiungente di B e C. Si vuole costruire una strada ad "Y" che colleghi le
tre località e sia la più breve possibile. Quale deve essere il suo
tracciato? [Traccia: indica con x la distanza in km di BC dal punto di biforcazione P e cerca di esprimere la lunghezza L della strada in funzione di x; usando la calcolatrice tabula e traccia il grafico di L in funzione di x; cerca in questo modo di individuare la distanza che P deve avere da BC arrotondata ai decimi di chilometro] |
L(x) = AP + 2PC = (24-x) + 2√(x2 + 102) =
2√(x2 + 100) − x + 24
[x varia tra 0 e 24] Se ho una calcolatrice senza parentesi per tabulare L mi conviene via via battere x e usare: [M+] [MR] [×] [MR] [+] 100 [=] [√] [×] 2 [−] [MR] [+] 24 [=] Ottengo un grafico simile a quello a lato. Deduco che L è minima circa per x = 6. Per arrivare ai decimi infittisco la tabulazione: L(5.6) = 41.3224..., L(5.7) = 41.3208..., L(5.8) = 41.3205..., L(5.9) = 41.3215... La gobba è tra 5.7 e 5.9 (un po' dopo 5.7 si scende, un po' prima di 5.9 si sale). Il valore in cui si ha il minimo è più vicino a 5.7, 5.8 o 5.9? Se infittisco ulteriormente la tabulazione ottengo: |
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L(5.7) = 41.3208...,
L(5.75) = 41.32054...,
L(5.76) = 41.32051...,
L(5.8) = 41.32055... La gobba è tra 5.75 e 5.8. L'arrotondamento ai decimi del valore di x per cui si ha il minimo è 5.8. Per altri commenti: risoluzione equazioni(2) neGli Oggetti Matematici. |
Sotto grafico e calcoli col software online WolframAlpha:
plot 2*sqrt(x^2 + 100) - x + 24, x = 0..24
min (2*sqrt(x^2 + 100) - x + 24) for x = 0..24
min = 24 + 10 sqrt(3) ≈ 41.321 at x = 10/sqrt(3) ≈ 5.7735
# Usando R(vedi qui): source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") L = function(x) 2*sqrt(x^2 + 100) - x + 24 m = minmax(L, 0,10); m; L(m) # 5.773503 41.32051 more( minmax(L, 0,10) ) # 5.77350269168363 Ovviamente per la soluzione concreta prendo 5.8 km POINT(m, L(m), "blue")