Che forma deve avere una scatola (di materiale fissato, senza coperchio) con base quadrata e capacità di 1 litro in modo da essere la più leggera possibile? [Traccia: indica con l il lato di base in cm, ricava l'altezza h della scatola (tenendo conto che il volume deve essere di 1000 cm3), ed esprimi, quindi, la superficie S della scatola (base più 4 facce laterali) in funzione di l; usando la calcolatrice tabula e traccia il grafico di S in funzione di l; cerca in questo modo di individuare quanto deve valere l, arrotondato ai decimi, ossia il lato della scatola arrotondato ai millimetri]

h = 1000/AreaBase = 1000/l2 S = AreaBase + AreaFacceLaterali = l2 + 4hl = l2 + 4·1000/l2·l S = l2 + 4000/l Tabulo S e traccio il grafico. Trovo facilmente che il massimo è per l compreso tra 12 e 13. Per individuare il valore con più precisione infittisco la tabulazione:   S(12.5) = 476.25,  S(12.55) = 476.227...,  S(12.6) = 476.220...,  S(12.65) = 476.228 Per l tra 12.55 e 12.65 ci deve essere la gobba: qui sta il valore per cui S è minima.

Concludendo si ha il minimo per l = 12.6.
L'altezza corrispondente è 1000/12.6² = 6.298... = 6.3.

Controlliamo col software online WolframAlpha:

plot y = x^2 + 4000/x, 0 < x < 25, 0 < y < 1000

min x^2 + 4000/x
min{x^2 + 4000/x} ≈ 476.22 at x ≈ 12.599

Con R avrei potuto fare:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
S <- function(L) L^2+4000/L
Piano(0,25, 0,10000); grafico( S, 0,25, "blue")
# Ho un'idea dell'andamento; faccio uno zoom:
graficoF( S, 11,14, "blue")

# ottenuto il secondo grafico posso procedere con altri
# zomm o posso cercare direttamente il valore di minimo, tra 12 e 13:
m = maxmin(S, 12,13); m; S(m)
#   12.59921  476.2203     che poi arrotondo