A lato sono tracciate parzialmente le traiettorie rettilinee di due barche a motore partite contemporaneamente dallo stesso porto e che viaggiano a velocità costante. Gli assi x e y rappresentano le direzioni est e nord. Le unità sugli assi rappresentano centinaia di metri. (0,0) è il punto di partenza; i pallini rappresentano le posizioni assunte dopo 1 min, 2 min, …, 5 min. – Descrivi le posizioni P e Q delle due barche in funzione del tempo t in minuti trascorso dalla loro partenza. – Esprimi la distanza d tra di esse in funzione di t  [in questo contesto possiamo supporre che la superficie del mare sia piatta, ossia approssimabile con il piano euclideo].

–  Indico con x_P(t) e y_P(t) le coordinate di P all'istante t.
P(5) = (4,2), ossia quando t = 5  P = (4,2); essendo la velocità costante, x(t) e y(t) sono proporzionali a t; quindi:
x_P(t) = 4/5t = 0.8t,  y_P(t) = 2/5t = 0.4t.
Analogamente x_Q(t) = 2/5t = 0.4t,  y_Q(t) = 6/5t = 1.2t.
In alternativa posso individuare le direzioni di OP [atan(0.5)] e di OQ [atan(3)], lo spazio percorso in Δt=5 da P ((2²+4²) = 20) e da Q ((2²+6²) = 40) e descrivere i vettori:
OP(t) ha direzione atan(0.5) = 26.6° (est-nord) e modulo 20/5t = 0.8 t = 0.894t (centinaia di metri);
OQ(t) ha direzione atan(3) = 71.6° (est-nord) e modulo 40/5t = 1.6 t = 1.26t (centinaia di metri):
ad es. dopo 10 min P si trova alla distanza di 89 m in direzione 27° E-N dal punto di partenza.
–  d(t) = dist(P(t),Q(t)) = ((x_P(t)–x_Q(t))² + (y_P(t)–y_Q(t))²) = ((0.4t)² + (0.8t)²) = (0.16t² + 0.64t²) = 0.8 t
[Nota. d(t) è stata ottenuta componendo le quattro funzioni a 1 input e 1 output numerici  t x_P(t), …, t y_Q(t),  e la funzione a 4 input e 1 output numerici  x₁,x₂,y₁,y₂ ( (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ),
ovvero componendo le funzioni t P(t) e t Q(t), aventi come input un numero e output un punto, e la funzione (A,B) dist(A,B), avente come input una coppia di punti e output un numero]
Potevo procedere anche più rapidamente:
d(5) = dist(P(5),Q(5)) = [vedi figura] (2² + 4²) = 20, quindi:
d(1) = 20 /5  e  d(t) = 20 /5 t = 0.8 t
O, più rapidamente ancora, osservare dalla figura che d(t) = dist(O,P(t)), e ricondurmi a calcoli già fatti in precedenza.
    Per altri commenti: distanza, direz. e fun. circ., funzione(2) neGli Oggetti Matematici

Sotto grafico e calcoli col software online WolframAlpha:
parametric plot (4/5*t, 2/5*t), parametric plot (2/5*t, 6/5*t) for t = 0..5
dist (4/5*t, 2/5*t), (2/5*t, 6/5*t)   dist (4/5*5, 2/5*5), (2/5*5, 6/5*5)   dist (4/5*1, 2/5*1), (2/5*1, 6/5*1)