Trova, per ciascuno dei seguenti casi, tutte le funzioni polinomiali F di grado minore o uguale a 2 soddisfacenti le condizioni indicate, e stabiliscine le caratteristiche dei grafici.
(a)  per ogni x, F(x) = F(x+1) (b)  per ogni x, F(x) = F(2x)
(c)  per ogni x, F(–x) = F(x) (d)  per ogni x, –F(x) = F(x)
(e)  per ogni x, F(–x) = –F(x)

(a) per ogni x F(x) = F(x+1):
x F(x+1) ha lo stesso grafico di F traslato a sinistra di 1; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale:
F(x) = c, c numero reale qualunque.
In modo "pedestre":
se a·(x+1)2+b·(x+1)+c [= ax2+a+2ax+bx+b+c = ax2+(2a+b)x+a+b+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora: 2a+b=b, a+b+c=c, da cui: a=0, b=0.
(b) per ogni x F(x) = F(2x):
x F(2x) ha lo stesso grafico di F contratto orizzontalmentedi un fattore 1/2; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale:
F(x) = c, c numero reale qualunque.
Ovvero:  se a·(2x)2+b·2x+c [= 4ax2+2bx+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora a=0, b=0.
(c) per ogni x F(x) = F(–x):
x F(–x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse y; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale (F(x)=c) o di una parabola del tipo F(x)=ax2+c, ossia se F(x)=ax2+c con a e b numeri reali qualunque.
Ovvero:  se a·(–x)2–bx+c [= ax2–bx+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora b=0.
(d) per ogni x F(x) = –F(x):
x –F(x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse x; i due grafici coincidono solo se si tratta dell'asse x (F(x)=0)
Ovvero:  se –ax2–bx–c = ax2+bx+c per ogni x, allora b=0.
(e) per ogni x F(x) = –F(–x):
x –F(–x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse x e all'asse y, ossia simmetrico rispetto a (0,0), ovvero (interpretando il sistema di riferimento come monometrico) ruotato di 180° attorno a (0,0); i due grafici coincidono solo nel caso di una retta passante per (0,0) (F(x)=bx)
Ovvero:  se –a(–x)2–(–x)b–c [= –ax2+bx–c] = ax2+bx+c per ogni x, allora a=0, c=0.

Per altri commenti: funzione (2) neGli Oggetti Matematici.