Trova, per ciascuno dei seguenti casi, tutte le funzioni polinomiali F di grado minore o uguale a 2 soddisfacenti le condizioni indicate, e stabiliscine le caratteristiche dei grafici. | |
(a) per ogni x, F(x) = F(x+1) | (b) per ogni x, F(x) = F(2x) |
(c) per ogni x, F(x) = F(x) | (d) per ogni x, F(x) = F(x) |
(e) per ogni x, F(x) = F(x) |
(a) per ogni x F(x) = F(x+1):
x F(x+1) ha lo stesso grafico di F traslato a sinistra di 1; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale:
F(x) = c, c numero reale qualunque.
In modo "pedestre":
se a·(x+1)2+b·(x+1)+c [= ax2+a+2ax+bx+b+c = ax2+(2a+b)x+a+b+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora: 2a+b=b, a+b+c=c, da cui: a=0, b=0.
(b) per ogni x F(x) = F(2x):
x F(2x) ha lo stesso grafico di F contratto orizzontalmentedi un fattore 1/2; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale:
F(x) = c, c numero reale qualunque.
Ovvero:
se a·(2x)2+b·2x+c [= 4ax2+2bx+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora a=0, b=0.
(c) per ogni x F(x) = F(x):
x F(x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse y; i due grafici coincidono solo se si tratta di una retta orizzontale
Ovvero:
se a·(x)2bx+c [= ax2bx+c] = ax2+bx+c per ogni x, allora b=0.
(d) per ogni x F(x) = F(x):
x F(x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse x; i due grafici coincidono solo se si tratta dell'asse x (
Ovvero:
se ax2bxc = ax2+bx+c per ogni x, allora b=0.
(e) per ogni x F(x) = F(x):
x F(x) ha lo stesso grafico di F ribaltato rispetto all'asse x e all'asse y, ossia simmetrico rispetto a (0,0), ovvero (interpretando il sistema di riferimento come monometrico) ruotato di 180° attorno a (0,0); i due grafici coincidono solo nel caso di una retta passante per (0,0) (
Ovvero:
se a(x)2(x)bc [= ax2+bxc] = ax2+bx+c per ogni x, allora a=0, c=0.
Per altri commenti: funzione (2) neGli Oggetti Matematici.