Voglio costruire una scatola tagliando da una lamiera rettangolare di dimensioni 20 cm × 10 cm quattro quadratini e operando successive piegature e saldature: vedi figura. Come devo effettuare il taglio per ottenere il massimo volume?
[Traccia:indica con x il lato in cm dei quadratini, esprimi con una formula il volume in cm³ V della scatola in funzione di x; usando la calcolatrice tabula e traccia il grafico di V in funzione di x; cerca in questo modo di individuare il lato con cui prendere i quadratini arrotondato ai millimetri]

Mi esprimo in cm. V = AreaBase·Altezza = (20-2x)(10-2x)x
Come dominio di V devo prendere i valori di x compresi tra 0 e 5 (non posso tagliare quadratini di lato maggiore di 5 in quanto una delle dimensioni della lamiera è 10).
Tabulo V e traccio il grafico (sotto è tracciato con questo script). Trovo facilmente che il massimo è per circa x =2. Per individuarlo con più precisione infittisco la tabulazione:
V(2) = 192, V(2.1) = 192.44..., V(2.2) = 192.19...

Il massimo lo si ha per x compreso tra 2 e 2.2 in quanto in mezzo la curva deve avere una gobba. Se infittisco ulteriormente la tabulazione ottengo:
V(2.05) = 192.31..., V(2.1) = 192.44..., V(2.15) = 192.40...
Concludo che x è compreso tra 2.05 e 2.15, ossia che il suo valore arrotondato ai decimi è 2.1.
In alto a destra è raffigurato il modo in deve essere tagliata la lamiera (la scatola, diversamente forse da come avremmo pensato intuitivamente, risulta essere abbastanza bassa).
Per altri commenti: risoluzione equazioni(2) neGli Oggetti Matematici.

Col computer posso utilizzare uno script eseguibile direttamente online: vedi, per dedurre che m = 2.113249, f(m) = 192.45009:

Potrei fare tutto facilmente anche col software online WolframAlpha:

plot  (20-2*x)*(10-2*x)*x, 0 <= x <= 10

max (20-2*x)*(10-2*x)*x if 0 <= x <= 5
1000/(3 sqrt(3)) at x = 5 - 5/sqrt(3)
≈ 192.45 at x ≈ 2.1132

Con R (vedi qui), avrei potuto ottenere:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x)(20-2*x)*(10-2*x)*x
BF=2.7; HF=2
graphF( f, -1,11, "blue")
graphF( f, 0,5, "blue")
graphF( f, 2,2.2, "blue")
m = maxmin(f, 1,4); m; f(m)
#  2.113249   192.4501

max (20-2*x)*(10-2*x)*x if 0 <= x <= 5
1000/(3 sqrt(3)) at x = 5 - 5/sqrt(3)
≈ 192.45 at x ≈ 2.1132

Mi esprimo in cm. V = AreaBase·Altezza = (20-2x)(10-2x)x Come dominio di V devo prendere i valori di x compresi tra 0 e 5 (non posso tagliare quadratini di lato maggiore di 5 in quanto una delle dimensioni della lamiera è 10). Tabulo V e traccio il grafico (sotto è tracciato con questo script). Trovo facilmente che il massimo è per circa x =2. Per individuarlo con più precisione infittisco la tabulazione: V(2) = 192, V(2.1) = 192.44..., V(2.2) = 192.19...

Il massimo lo si ha per x compreso tra 2 e 2.2 in quanto in mezzo la curva deve avere una gobba. Se infittisco ulteriormente la tabulazione ottengo: V(2.05) = 192.31..., V(2.1) = 192.44..., V(2.15) = 192.40... Concludo che x è compreso tra 2.05 e 2.15, ossia che il suo valore arrotondato ai decimi è 2.1. In alto a destra è raffigurato il modo in deve essere tagliata la lamiera (la scatola, diversamente forse da come avremmo pensato intuitivamente, risulta essere abbastanza bassa). Per altri commenti: risoluzione equazioni(2) neGli Oggetti Matematici.