A destra sono riprodotti parzialmente i grafici delle funzioni  p: x → f(x)/h(x)  e  q: x → g(x)/h(x)  dove  f(x) = 12x3+34x2+38x+15, g(x) = 12x3+40x2+43x+15, h(x) = 2x2+5x+3. Associa ai due grafici (quello blu e quello rosso) le due funzioni e motiva la risposta.

Supponiamo di non disporre di un computer, altrimenti sarebbe immediato tracciare i grafici e rispondere al quesito. Evidentemente una delle due divisioni deve avere resto nullo e avere per risultato un polinomio di primo grado in x.
Eseguendo la prima divisione otteniamo 6x+2 con resto 10x+9.
Eseguendo la seconda otteniamo 6x+5 con resto 0.
Quindi è g/h ad aver per grafico la retta, che però deve essere bucata in corrispondenza dei valori di x che annullano il denominatore h(x).
h(x) = 2(x+1)(x+3/2), quindi questo accade per x=−1 e x=−3/2.
In corrispondenza degli stessi valori di x l'altra funzione ha, invece, degli asintoti.

Ecco lo script con cui sono stati tracciati i grafici:  qui.

I grafici col software online WolframAlpha:

plot (12x^3+34x^2+38x+15)/( 2x^2+5x+3), (12x^3+40x^2+43x+15)/( 2x^2+5x+3)

Per altri commenti: funzioni polinomiali neGli Oggetti Matematici.