Le funzioni (x,y) → x2y+x−1, (x,y) → x5y2−x2y+x−y e più in generale ogni funzione F a due input che a (x,y) associa la somma di termini del tipo kxmyn (m e m numeri naturali, k non contenente né x né y) sono dette funzioni polinomiali a 2 input. La somma m+n viene detta grado del termine kxmyn.  Il massimo tra i gradi dei termini la cui somma dà F(x,y) viene detto grado della funzione polinomiale F (ciò dopo eventuali semplificazioni: x2y+x−yx2+1 equivale a x+1; è di grado 1, non di grado 3).
    Il termine F(x,y) viene detto polinomio in x e y. Una equazione del tipo F(x,y)=0 viene detta equazione polinomiale in x e y; come grado di essa viene preso il grado di F.
    Utilizzando R, od altro software, traccia, tu e i tuoi compagni, il grafico di più equazioni polinomiali di primo e di secondo grado. Confrontate i vostri risultati e congetturate quali tipi di figure sono, in generale, i grafici di questi generi di equazioni.

Le equazioni polinomiali di primo grado hanno per grafici rette, quelle di secondo grado parabole, iperboli, ellissi (o coppie di rette, una retta, singoli punti). Tali curve vengono dette coniche in quanto posso essere ottenute intersecando un piano con un cono, come vedrai più avanti. Possiamo tracciarle con R (vedi) ad esempio nel modo seguente: 

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# Ecco un possibile modo di tracciare i grafici di alcune
# equazioni di due variabili:
# (x-2*y)^2+3*y = 4,   (x-y)*(x+2*y)+3*y = 4,
# 0.5*x^2+y^2+3*y = 4, (x+y)*(x-y) = 0
# Scelgo la parte di piano in cui tracciare i grafici
BF=3; HF=3; PLANE(-5,5, -5,5)
# Considero le funzioni che eguagliate a 0 siano equivalenti alle equazioni
f = function(x,y) (x-2*y)^2+3*y-4
g = function(x,y) (x-y)*(x+2*y)+3*y-4
h = function(x,y) 0.5*x^2+y^2+3*y-4
k = function(x,y) (x+y)*(x-y)
CURVE(f, "blue"); CURVE(g, "red")
CURVE(h, "green"); CURVE(k, "orange")
# Ottengo:

Col software online WolframAlpha:
plot (x-2*y)^2+3*y-4=0, (x-y)*(x+2*y)+3*y-4=0, 0.5*x^2+y^2+3*y-4=0, (x+y)*(x-y)=0, x*y=0, x = -4..4, y = -4..3