Carica in R il seguente file:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
e usalo per trovare l'insieme immagine della funzione x → (x-1)/(x²+x) specificandone
gli estremi con tre cifre significative. Motiva la risposta.
(1)
La funzione è definita e continua in tutto il suo dominio, ovvero, dato che x²+x = x·(x+1) vale 0 per x=0 e per A destra i comandi. Sotto i grafici ottenuti. | BF=2.5; HF=2; f = function(x) (x-1)/(x^2+x) graphF(f,-10,10, "black") # (1) Plane(-5,5, -100,100); graph(f, -5,5, "black") # (2) Plane(-5,5, -10,10); graph(f, -5,5, "black") # (3) graphF(f, 1,3, "black") # (4) graphF(f, 2.34,2.45, "black") # (5) graphF(f, -0.8,-0.05, "black") # (6) graphF(f, -0.5,-0.3, "black") # (7) graphF(f, -0.43,-0.4, "black") # (8) |
La funzione sembra avere immagine (-∞,A) ∪ (B,∞) con A e B che,
arrtondati a 3 cifre, valgono 0.172 - vedi grafico (5) - e 5.83 - vedi grafico (8).
La funzione è continua. Dobbiamo essere sicuri che il grafico non superi
il valore A a destra di 5 e a sinistra di −5, ossia al di fuori
di quanto rappresentato graficamente.
Abbiamo che per x → ∞ e per x → −∞ f(x) tende a 0, in quanto
tende a comportarsi come x/x^2, ossia come 1/x. Vediamo che non superi
0.17
al di fuori di quanto rappresentato graficamente.
(x−1)/(x^2+x) = 1/(x+1)−1/(x^2+x) < 1/(x+1) < 1/6 < 0.17
per x > 5. OK
Per x < −1 f(x) è sempre negativo in quanto sono tali sia
1/(x+1) che −1/(x^2+x) = −1/(x(x+1)).
(2) Ma con R potremmo trovare facilmente i valori di A e B anche con un metodo numerico:
more( f( minmax(f, 1,3) ) ) # 0.17157287525381 more( f( minmax(f, -0.8,-0.2) ) ) # 5.82842712474619