Carica in R il seguente file:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
e usalo per trovare l'insieme immagine della funzione x → (x-1)/(x²+x) specificandone gli estremi con tre cifre significative. Motiva la risposta.

(1)  La funzione definita e continua in tutto il suo dominio, ovvero, dato che x²+x = x·(x+1) vale 0 per x=0 e per x=−1, in (−∞,−1) ∪ (−1,0) ∪ (0,∞).  Vediamo come possiamo operare graficamente.
A destra i comandi.  Sotto i grafici ottenuti.
  
BF=2.5; HF=2; f = function(x) (x-1)/(x^2+x)
graphF(f,-10,10, "black")                      # (1)
Plane(-5,5, -100,100); graph(f, -5,5, "black") # (2)
Plane(-5,5, -10,10); graph(f, -5,5, "black")   # (3)
graphF(f, 1,3, "black")                        # (4)
graphF(f, 2.34,2.45, "black")                  # (5)
graphF(f, -0.8,-0.05, "black")                 # (6)
graphF(f, -0.5,-0.3, "black")                  # (7)
graphF(f, -0.43,-0.4, "black")                 # (8)

La funzione sembra avere immagine (-∞,A) ∪ (B,∞) con A e B che, arrtondati a 3 cifre, valgono 0.172 - vedi grafico (5) - e 5.83 - vedi grafico (8).  La funzione è continua. Dobbiamo essere sicuri che il grafico non superi il valore A a destra di 5 e a sinistra di −5, ossia al di fuori di quanto rappresentato graficamente.
Abbiamo che per x → ∞ e per x → −∞ f(x) tende a 0, in quanto tende a comportarsi come x/x^2, ossia come 1/x. Vediamo che non superi 0.17… al di fuori di quanto rappresentato graficamente.
(x−1)/(x^2+x) = 1/(x+1)−1/(x^2+x) < 1/(x+1) < 1/6 < 0.17… per x > 5. OK
Per x < −1 f(x) è sempre negativo in quanto sono tali sia 1/(x+1) che −1/(x^2+x) = −1/(x(x+1)).

(2)  Ma con R potremmo trovare facilmente i valori di A e B anche con un metodo numerico:  minmax(F, h,k)  trova il massimo o il minimo di F nell'intervallo (h,k) in cui il grafico di F abbia una gobba (con "more" posso ottenere più cifre).

more( f( minmax(f, 1,3) ) )
# 0.17157287525381
more( f( minmax(f, -0.8,-0.2) ) )
# 5.82842712474619