Dati i grafici di F e G tracciati a lato, traccia, approssimativamente, i grafici delle funzioni F+G, 1/F, -F, F(G(.)), G(F(.)), |F| e la funzione inversa di F  [gli assi si intersecano in (0,0); fissa come vuoi le unità sugli assi].

Non sei sicuro delle risposte che hai dato? Rivedile tenendo conto che i grafici soluzione hanno forme simli a qulle dei grafici sotto tracciati in rosso (nell'ipotesi che  -6 ≤ x ≤ 6  e che  -5 ≤ y ≤ 5, F ha grafico blu, G verde).  Quale tra (1), (2) e (3) può essere il grafico di F+G, quale di G(F(.)) e quale di F(G(.))? Quale tra i rimanenti può essere il grafico di 1/F, quale di -F, quale di |F| e quale delle funzione inversa di F?

1) 2) 3)
4) 5) 6) 7)

F+G ha come dominio l'intersezione dei domini di F e di G; quindi il suo grafico dovrebbe divergere in direzioni diverse esattamente dove questo accade per G; fra (1), (2) e (3) questo accade per (1) e per (2). Andando verso la destra dell'intervallo considerato G tende a confondersi con l'asse x, e lo stesso fa andando verso la sua sinistra; quindi la somma delle ordinate dei grafici di F e di G verso gli estremi dell'intervallo è sempre più uguale alle ordinate di F; e in (2) abbiamo che il grafico tende a confondersi con quello di F alle estremità dell'intervallo. Comunque, fissando delle unità sugli assi, leggendo per diversi x i valori di F(x) e di G(x) e tracciando i punti (x,F(x)+G(x)), si avrebbe un'andamento del tipo (2).

F(G(.)) non è sicuramente definita dove non lo è G, come accadeva per F+G; ci restingiamo come prima a (1) e (2); (2) lo abbiamo già associato a F+G, quindi non ci resta che (1). Del resto F è del tipo x hx+k con h,k>0: il suo effetto è solo quello di dilatare o contrarre verticalmente il grafico di G e di traslarlo verticalmente: F(G(.)) non può che avere l'andamento (1).

Per G(F(.)) non rimane che (3). Comunque potevamo conludere direttamente che l'andamento deve essere simile a quello di G, in quanto l'effetto di F sugli input è solo quello di scalarli e traslarli, per cui si otterrà il grafico di G dilatato o contratto verticalmente e traslato orizzontalmente: G(F(x)) = G(hx+k) non è definito quando hx+k non è nel dominio di G; se indico con q è il punto in cui non è definita G, allora G(F(x)) non è definita quando hx+k = q, ossia x = q/h - k/h. Nel caso illustrato in (3) il nuovo asintoto verticale è risultato in x negativo, ma avrebbe potuto essere anche in x positivo.

1/F non è definita dove F si azzera. 1/F(x) ha la forma 1/(hx+k) = 1/h*1/(x-k/h), quindi ha per grafico l'iperbole ottenuta traslando y = 1/x (di k/h) e poi scalandola verticalmente (del fattore 1/h). Tra le curve tracciate il suo grafico deve essere (6).

-F ha come grafico quello che si ottiene da quello di F cambiando segno alle ordinate, ossia ribaltandolo attorno all'asse x: (7).

|F(x)| coincide con F(x) se F(x) ≥ 0, con -F(x) altrimenti. Il suo grafico coincide con quello di F quando questo è sopra all'asse x, con il suo simmetrico rispetto all'asse x altrove: (5).

Il grafico dell'inversa di F si ottiene scambiando le x con le y al grafico di F. È una retta che interseca l'asse x [y] dove il grafico di F intersecava l'asse y [x], e ha come pendenza il reciproco della pendenza di esso (che in questo caso è 1): (4).

Puoi rivedere le soluzioni QUI o, con i grafici realizzati con WolframAlpha, QUI.

Per commenti: funzione(2) neGli Oggetti Matematici

Assumendo che F(x) = 1/(x-1) e G(x) = x+1/2,  i grafici di  F e G;  F, G e F+G;  F e 1/F;  F e -F;  F, G e F(G(.));  F, G e G(F(.));  F e |F|;  F e F^-1

             

plot {1/(x-1), x+1/2}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), x+1/2, 1/(x-1)+(x+1/2)}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), x-1}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1),-1/(x-1)}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), x+1/2, 1/((x+1/2)-1)}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), x+1/2, 1/(x-1)+1/2}, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), abs(1/(x-1)) }, -6 < x < 6, -5 < y < 5
plot {1/(x-1), 1/x+1 }, -6 < x < 6, -5 < y < 5

y = 1/(x-1)
x-1 = 1/y