Siano F, G e H funzioni a input e output reali. Abbia G dominio contenente l'immagine di F, e sia H = G(F(.)). Dimostra le seguenti proprità e illustrale con esempi.
(a) Se F e G crescono anche H cresce.
(b) Se F cresce e G decresce allora H decresce
(c) Se F e G decrescono allora H cresce
(d) Se F descresce e G cresce allora H decresce.

(a) F e G conservano l'ordine degli input quindi lo conserva la loro composizione. Volendo usare formule, dimostriamo che  w > v  =>  G(F(w)) > G(F(v)):
w > v  =>  [in quanto F cresce] F(w) > F(v)
Ora passo questi valori come input a G:
F(w) > F(v)  =>  [in quanto G cresce] G(F(w)) > G(F(v))
Come esempi molto semplici possiamo prendere F(x)=x+h, G(x)=x+k: G(F(x))=G(x+h)=x+h+k: i loro grafici sono tutti rette con pendenza 1.

(b) F conserva l'ordine, G lo inverte, e alla fine rimane invertito. Volendo usare formule, dimostriamo che  w > v  =>  G(F(w)) < G(F(v)):
w > v  =>  [in quanto F decresce] F(w) < F(v)  =>  [in quanto G cresce] G(F(w)) < G(F(v))
Come esempi molto semplici possiamo prendere F(x)=x+h, G(x)=-x+k: G(F(x))=G(x+h)=-x-h+k: il grafico di F è una retta con pendenza 1, quelli di G e di G(F.)) sono rette con pendenza -1.

(c) e (d) si dimostrano in modo simile. Anche gli esempi possono essere analoghi:
Per (c), F(x)=-x+h, G(x)=-x+k: G(F(x))=G(-x+h)=x-h-k
Per (d), F(x)=-x+h, G(x)=x+k: G(F(x))=G(-x+h)=-x+h+k