Siano F, G e H funzioni a input e output reali aventi lo stesso dominio. Discuti come l'eventuale crescenza o decrescenza delle seguenti funzioni dipende da quelle di F e G:
F+G,  -F,  1/F (nell'ipotesi che F(x) sia diverso da 0 per ogni x nel dominio di F),  F·G

(a1) è intuitivo che se F e G crescono entrambe allora F+G fa altrettanto (e con maggiore rapidità). Verifichiamolo in modo formale, ossia dimostriamo che:
(w > v  =>  F(w) > F(v), G(w) > G(v))  =>  (w > v  =>  F(w)+G(w) > F(v)+G(v)):

w > v  =>	F(w) > F(v)   AND
	G(w) > G(v)
=>	F(w)+G(w) > F(v)+G(v)

(a2) analogamente se F e G decrescono entrambe allora F+G fa altrettanto

(a3) se tra F e G una cresce e l'altra decresce può accadere che F+G sia crescente, decrescente o nessuna delle due cose. Qualche esempio:

F cresce più di quanto G descresca		G decresce più di quanto F cresca	Per un tratto G decresce più di quanto F cresca, poi per un tratto i due andamenti si compensano, e infine F cresce più di quanto G decresca

(b) -F ha come grafico quello di F ribaltato rispetto all'asse x, quindi se F cresce -F descresce, se F decresce -F cresce. Si può arrivare alla stessa conclusione anche osservando che -F è ottenibile da F applicando la funzione cambio-segno (x –x), che decresce e, quindi, inverte l'ordine degli output di F.

(c) 1/F è ottenibile da F applicando la funzione reciproco (x 1/x), che decresce in (-∞,0) e in (0,∞). Quindi se F ha immagine in (-∞,0) (ha output tutti negativi) o in (0,∞) (ha output tutti positivi), allora 1/F ha comportamento "rovesciato": cresce quando F decresce, decresce quando F cresce.

(d1) Se F e G sono entrambe positive F·G cresce quando sia F che G crescono, decresce quando entrambe decrescono:

0 < F(v) < F(w) AND	=> 0 < F(v)G(v) < F(w)G(w)
0 < G(v) < G(w)

(d2) Se F e G sono entrambe negative F·G ha comportamento "rovesciato": decresce quando sia F che G crescono, cresce quando entrambe decrescono: infatti se F e G sono negative < F(x)G(x) = |F(x)|·|G(x)| che cresce quando |F| (= -F) e |G| (= -G) entrambe crescono, ossia quando F e G entrambe decrescono.

Es. F(x)=G(x)=x. In (0,∞) sono entrambe positive crescenti e x G(x)·F(x) = x² cresce. In (-∞,0) sono entrambe negative crescenti e x x² decresce.

(d3) Negli altri casi può accadere che F·G sia crescente, decrescente o nessuna delle due cose. Nel caso a fianco, in [0,1], F e G sono entrambre crescenti, ma una positiva e l'altra negativa. Il loro prodotto è una funzione che in una partre dell'intervallo è decrescente e in un altra parte è decrescente.