(a) Se F è invertibile allora F è crescente o decrescente?
(b) Se F è crescente allora la sua funzione inversa è crescente, decrescente o può essere sia crescente, sia decrescente, sia di altro genere?
(c) Se F e G sono pari allora (nell'intersezione dei due domini) sono pari anche F+G e F·G?
(d) Se F e G sono dispari allora (nell'intersezione dei due domini) sono dispari anche F+G e F·G?
(e) E se F e G sono una pari e l'altra dispari?
[NOTA: stiamo intendendo crescente e decrescente in senso stretto]
(a) NO. Ad es. x 
1/x è invertibile (ha come inversa sé stessa) ma, pur descrescendo in (0,∞) e in (-∞,0), non decresce nell'intero dominio. Altro es.: se F(x)=x se x è razionale, F(x)=x+1, F è invertibile (F–1(x)=x se x è razionale, F–1(x)=x-1 altrimenti), ma non è né crescente (π<4, F(π)=π+1>4) né decrescente (3<4, F(3)=3<4=F(4)).
| (b) F–1 ha lo stesso andamento di F: se al crescere di x cresce y si ha anche che al crescere di y cresce x; vedi figura a lato. Volendo formalizzare: se v e w sono output distinti di F e v < w, allora F–1(v) < F–1(w) in quanto altrimenti dovrebbe essere F–1(v) > F–1(w) (essendo F invertibile non possono essere uguali) che, applicando la funzione crescente F, darebbe luogo a v = Analogamente: se al crescere di x decresce y si ha anche che al crescere di y decresce x |  |
(c) SÌ. Si pensi a qualche esempio e al significato geometrico. Le dimostrazioni sono facili. Vediamo quella per "+":
(F+G)(-x) = F(-x)+G(-x) = [in quanto F e G sono pari] F(x)+G(x) = (F+G)(x)
(d1) F+G si mantiene dispari. Si pensi a qualche esempio e al significato geometrico. Dimostrazione:
(F+G)(-x) = F(-x)+G(-x) = [in quanto F e G sono dispari] -F(x)-G(x) = -(F+G)(x)
(d2) F·G diventa pari. Si pensi ad esempio a F(x)=G(x)=x: (F·G)(x) = x2, e y=x2 è simmetrica rispetto all'asse y. Dimostrazione:
(F·G)(-x) = F(-x)·G(-x) = [in quanto F e G sono dispari] -F(x)·(-G(x)) = F(x)·G(x) = (F·G)(x)
(e1) F·G diventa dispari. La cosa è abbastanza ovvia: una mantiene il segno e l'altra lo cambia, per cui alla fine esso rimane cambiato:
(F·G)(-x) = F(-x)·G(-x) = [se F è pari e G dispari] F(x)·(-G(x)) = -F(x)·G(x) = -(F·G)(x)
(e2) Di F+G non si può stabilire la "parità". Si pensi F(x)=x (dispari) e G(x)=1 (pari): F+G ha per grafico una retta che non è né simmetrica rispetto all'asse y (F+G non è pari) né rimane invariata se si cambiano i segni alle x e alle y, ossia ruotandola di 180° attorno a (0,0) (F+G non è dispari). Verifica algebrica:
(F+G)(-x) = (-x)+1 non è in generale uguale né a (F+G)(x) = x+1 né è in generale uguale a