Siano f(x)=x+x³, g(x)=√(1-x²), h(x)=1/x-x.
Si considerino le relazioni y=f(x), y=g(x) e y=h(x) ristrette a -1 ≤ x ≤ 1, si traccino i grafici delle loro relazioni inverse, si stabilisca se tali relazioni sono funzioni e, in caso positivo, se ne specifichi il dominio.

f è la somma di due funzioni strettamente crescenti ed è quindi crescente in (-∞, ∞) e, quindi, anche in [-1, 1]. Perciò è ivi invertibile e il dominio della sua inversa (che sarà anch'essa strettamente crescente) è pari alla immagine mediante f di [-1, 1], ossia [f(-1), f(1)] = [-2, 2]. A destra il grafico della inversa di f è blu.   g ha per grafico un semicerchio; cresce per input negativi, decresce per input positivi; potevo anche osservare che ha lo stesso comportamento di x -x2+1 in quanto x √x cresce. Non è quindi invertibile in [-1, 1]. La sua relazione inversa ha per grafico la curva verde.

h è la somma di x 1/x e di x -x che sono decrescenti in [-1,0) e in (0,1], quindi in tali intervalli lo è anche h, senza esserlo in tutto [-1,1]-{0}. In (-1,1)-{0} è comunque iniettiva in quanto in (-1,0) assume valori negativi mentre in (0,1) assume valori positivi; non lo è in tutto [-1,1]-{0} in quanto h(1)=h(-1)=0. Il dominio della inversa di h (restringendo il dominio a (-1,1)-{0}) è l'immagine di (-1,1)-{0} mediante h, ossia (-∞,∞)-{0}. Il grafico dell'inversa di h a lato è tracciato, parzialmente, in rosso scuro.

Per altri commenti: funzione (2), funzione (2) e figure (1) neGli Oggetti Matematici.