Sia P(N) il perimetro di un poligono regolare a N lati. Sia L la distanza tra il centro del poligono e i suoi vertici. Quanto vale lim_{N → ∞} P(N)/L ?

Per N → ∞ il poligono tende a confondersi col cerchio di raggio L su cui stanno i suoi vertici; quindi P(N) → 2πL. Da cui lim_{N → ∞} P(N)/L = 2πL/L = 2π.
Questo ragionamento è di per sé rigoroso. Infatti la lunghezza del cerchio viene definita come l'estremo superiore dei perimetri dei poligoni inscritti in essa.

Volendo procedere senza tener conto di ciò possiamo osservare che (vedi figura) ognuno degli N triangoli (aventi un lato AB in comune col poligono e vertice opposto nel centro C del poligono) che formano il poligono ha AB lungo 2·AH = 2·L·sin(α) dove α è metà di un N-esimo di giro, ossia α = 2π/(2N) = π/N.
Quindi P(N)/L = 2·L·sin(α)·N/L = 2·sin(α)·N = 2·sin(π/N)·N.
π/N → 0; so che sin(u)/u → 1 per u → 0 (sin(u)≈u, ossia sin(u) e u "tendono a condondersi")
Dunque 2·sin(π/N)·N = 2·sin(π/N)/(π/N)·π → 2·1·π (in forma abbreviata: 2·sin(π/N)·N ≈ 2·π/N·N = 2π).