Siano F(x) = (2x+1)/(x+2) e G(x) = √F(x). Si traccino (a mano) i grafici di F e di G, precisando quali sono i loro domini e i loro insiemi immagine.

F(x) = 2 – 3/(x+2) (ho eseguito la divisione). Quindi il grafico di F è una iperbole, e, precisamente, la traslazione verticale di passo 2 di y=–3/(x+2), che è la traslazione orizzontale di passo –2 di y=–3/x (che è la simmetrica rispetto all'asse x dell'iperbole y=3/x). Ha x=–2 come asintoto verticale e y=2 come asintoto orizzontale. Il dominio di F è R–{–2} e la sua immagine è R–{2}. Quindi posso schizzare il grafico di F nel modo sotto raffigurato.

G è ottenuta da F applicando x √x, che è crescente. Quindi G è definita dove F assume valori non negativi e, per quanto riguarda crescenza e decrescenza, ha lo stesso andamento di F.
Essendo F crescente (-2,∞), F(x)≥0 per x maggiore o uguale al valore x per cui F(x)=0. (2x+1)/(x+2) = 0 equivale a 2x+1=0 ossia a x=-1/2. Quindi il dominio di G è (–∞,–2)U[-1/2,∞).
per x → ∞ tende alla radice quadrata dei valori a cui tende F, per cui ha y=√2 come asintoto orizzontale. L'immagine di G è dunque R_≥0–{√2}, ossia [0,√2)U(√2,∞).

Usando il computer (il software R, in particolare - vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) (2*x+1)/(x+2); G = function(x) sqrt(F(x)) 
BF=4; HF=3
Plane(-6,3, -2,5)
graph2(F,-6,3, "blue"); graph2(G,-6,3, "brown")
type(-1.5,3.5,"G"); type(-4.5,4.5,"F")
x = c(1e3,1e4,1e5,1e6,1e7,1e8); F(x)
# 1.997006 1.999700 1.999970 1.999997 2.000000 2.000000
x = c(1e3,1e4,1e5,1e6,1e7,1e8); G(x)
# 1.413155 1.414108 1.414203 1.414213 1.414213 1.414214
sqrt(2)
# 1.414214