Sia f una funzione con dominio illimitato superiormente, ad es. definita sui numeri naturali o su intervallo del tipo (k, ∞); sia inoltre crescente [decrescente] in senso lato e limitata superiormente [inferiormente]. Si può stabilire qualcosa a proposito dell'esistenza di  lim _{x → ∞} f(x) ?

L'ipotesi che f cresca e sia limitata superiormente equivale al fatto che il suo grafico stia tutto al di sotto di una retta orizzontale r e, all'avanzare verso destra, esso salga man mano sempre più in lato, ma senza scavalcare tale retta. È facile intuire che il grafico tendenzialmente si andrà a spiaccicare su una retta orizzontale (posta non più in alto di r). Ma l'intuizione a volte inganna. Partiamo da un esempio per inquadrare meglio il problema e cercare di svolgere una argomentazione più controllabile. Supponiamo che r sia la retta y=2.7. Cerchiamo, a partire da questa retta e scendendo verso il basso, la prima retta orizzontale ad ordinata intera che tocca o scavalca parzialmente il grafico di f; nel caso raffigurato sotto è la retta y=2. Ripetiamo il procedimento cercando, a partire da r, la prima retta orizzontale che ha come ordinata un numero limitato ai decimi che tocca o scavalca parzialmente il grafico; nel caso raffigurato è la retta y=2.4.

Procedendo in modo simile possiamo trovare una dopo l'altra tutte le cifre del numero L tale che y=L sia la retta di ordinata più bassa che delimita superiormente il grafico di f. Il numero L non è altro che lim _{x → ∞} f(x).
Infatti qualunque distanza ε da L fissi posso trovare un x tale che f(x) disti fa L meno di ε (ad es. se ε è dell'ordine di grandezza dei millesimi basta che prenda x tale che f(x) sia superiore al troncamento ai millesimi di L, e tale x per come abbiamo costruito L esiste). Essendo f crescente (in senso lato) anche per gli input maggiori di x la funzione assume valori che distano da L meno di ε.
Il ragionamento che abbiamo svolto vale in generale, non solo per il caso particolare che abbiamo considerato nella figura precedente.
    In modo analogo possiamo concludere che se f è limitata inferiormente e descresce in senso lato, allora esiste lim _{x → ∞} f(x).
Si noti che L non è altro che l'estremo superiore (nel caso in cui f cresca) o l'estremo inferiore (nel caso in cui f decresca) dell'insieme dei valori di f. Si poteva arrivare alla conclusione anche utilizzando il fatto che ogni insieme limitato superiormente [inferiormente] ammette un estremo superiore [inferiore]: clicca QUI per eventuali approfondimenti.