| Dimostra che per x → 0 | cos(x) – 1 | → | 1 | sapendo che sin(x)/x → 1 | |
| ————— | – | — | |||
| x2 | 2 |
| cos(x) – 1 | = | (cos(x) – 1)(cos(x) + 1) | = | cos(x)2 – 1 | = | – sin(x)2 | → – | 12 |
| ———— | ————————— | —————— | —————— | —— | ||||
| x2 | x2(cos(x) + 1) | x2(cos(x) + 1) | x2(cos(x) + 1) | 1+1 |
Congettuare il valore del limite è comunque facile. Con R:
f = function(x) (cos(x)-1)/(x^2) x = 10^-c(1,2,3,4); x # 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 f(x) # -0.4995835 -0.4999958 -0.5000000 -0.5000000
Ovvero potrei usare questo semplice script:
function F(x) { with(Math) {
y = (cos(x)-1)/(x*x)
return y
}}
[fino a -0.49999998941174795, -0.4999999969612645 le variazioni tra un'uscita e l'altra si riducono, poi incominciano ad aumentare, segno che incominciano ad essere preponderanti gli errori di arrotondamento]
O, più semplicemente, posso usare la nostra calcolatrice (vedi):
mettendo il termine con Q al posto di x in d e mettendo in g valori man mano più vicini a 0:
(cos(Q)-1) / (Q*Q)
1, 1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5
clicco [F] e in k ottengo:
-0.45969769413186023, -0.49958347219742893, -0.4999958333473664, -0.49999995832550326, -0.4999999969612645