Studia i limiti per x → − 2 di  x3+x2−8x−12   x3+3x2−10x−24  e  x2−3x−10
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x2−3x−10 x2−3x−10 x3+x2−8x−12

In tutti i tre i casi si tratta di rapporti tra termini che per x = −2 si annullano. Quindi ho delle forme del tipo "0/0", di fronte alle quali non posso stabilire direttamente il comportamento della funzione per x → − 2. Si tratta, comunque, di polinomi in x, per cui, per il teorema del resto (di Ruffini) so che posso dividerli esattamente per x+2. Eseguo, dunque, le loro divisioni per x+2, ottenendo:
x3+x2−8x−12  = x2−x−6 
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x + 2
 
x3+3x2−10x−24  = x2+x−12 
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x + 2
 
x2−3x−10  = x−5 
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x + 2
Dunque:
x3+x2−8x−12  =  x2−x−6  → 0/-7 = 0
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x2−3x−10 x−5
x3+3x2−10x−24  =  x2+x−12  → 10/7
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x2−3x−10 x−5
x2−3x−10  =  x−5  → "-7/0" = ?
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x3+x2−8x−12 x2−x−6
Per l'ultimo limite dobbiamo stabilire se, per x→-2, x2−x−6 tende a 0 mantenendosi positivo o negativo. y=x2−x−6 è una parabola con la concavità verso l'alto che interseca l'asse x per x=-2 e per x=3 (infatti (x2−x−6)/(x+2) = x-3) quindi tra x=-2 e x=3 sta sotto all'asse x ed esternamente sta sopra. Dunque:
per x→-2- x2−x−6>0 e il limite è "-7/0+" = −∞
per x→-2+ x2−x−6<0 e il limite è "-7/0-" = ∞
Verifica: calcolo il rapporto per -2.01 (a sinistra di -2) e ottengo -139.9...; calcolo il rapporto per -1.99 (a destra di -2) e ottengo 140.0.... OK

Controllo grafico al computer (a destra A, B e C sono, in ordine, i grafici delle tre funzioni; P è il grafico della parabola y=x2−x−6):
 
# Verifichiamo gli esiti col computer anche numericamente (con R - vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (x^3+x^2-8*x-12)/(x^2-3*x-10)
g = function(x) (x^3+3*x^2-10*x-24)/(x^2-3*x-10)
h = function(x) (x^2-3*x-10)/(x^3+x^2-8*x-12)
k = function(x) x^2-x-6
BF=4; HF=3; Plane(-5,5, -7,4)
graph1(k, -6,6, "black")
graph2(f, -6,6, "blue"); graph2(g, -6,6, "red"); graph2(h, -6,6, "seagreen")
text(0.5,-5.5,"P")
text(-4.4,-2.5,"A"); text(-4.4,0.5,"B"); text(2.4,3.5,"C")
#
n = 1:10
x = -2+10^-n; more(g(x))
# 1.49130434782608 1.43489270386265 1.42920402914657 1.42863469335316 1.42857775506447
# 1.42857206182461 1.42857149020014 1.42857147207405 1.42857142857143 1.42857142857143
fraction(g(x))
#      343/230       33433/23300 29983177/20978934   5387380/3770999              10/7
#         10/7              10/7              10/7              10/7              10/7