Schizza, per input compresi tra −2 e 2, il grafico della funzione x → sin(1/x) se x ≠ 0, 0 → 0,  verifica se ottieni il grafico a fianco,  dimostra che tale funzione F non è continua  e che, ciò nonostante,  comunque prenda x1 e x2 tra −2 e 2 e k compreso tra F(x1) e F(x1),  il grafico di F interseca la retta y = k almeno in un punto.

A destra è tracciato, parzialmente, il grafico della funzione x → 1/x e, sotto, quello della funzione x → sin(x).  La composizione di tali funzioni, prolungata a valere 0 in 0, è la funzione F su cui stiamo riflettendo.

A lato è tracciato il grafico di F in un sottointervallo di [−2, 2]. F non è continua in quanto, comunque infittisca gli input attorno a 0, F assume valori che continuano ad oscillare tra −1 ed 1: al restringere dell'intervallo degli input non si restringe quello degli output. Per gli stessi motivi, tuttavia, il grafico di F interseca ogni retta del tipo y = k con k compreso tra gli ouput di due input qualunque:  se sono dello stesso segno, per la continuità della funzione nell'intervallo che ha tali input come estremi;  se sono di segno opposto (ad es. −0.3 e 0.4), perchè F assume al variare tra essi (e infinite volte) tutti i valori compresi tra −1 ed 1.

        Si noti che la condizione ( continuità)

 "presi comunque x₁ e x₂ in [a,b] e un valore k compreso tra f(x₁) e f(x₂), il grafico di f interseca la retta y=k almeno in un punto" 

è una condizione che è verificata da ogni funzione continua in [a,b] ma che non è sufficiente a garantirne la continuità.  Se avessi evitato di definire F(0) = 0 avrei, invece, ottenuto una funzione continua in tutto il suo dominio.  Per altri commenti: limiti neGli Oggetti Matematici.