3x tende all'infinito più velocemente di √(x+1) e x più velocemente di 2+√x, quindi il limite equivale a quello di 3x/x, ossia è 3.
In x + cos(x) e x + sin(x) mentre x tende all'infinito l'altro addendo è limitato, quindi il limite del loro rapporto equivale a quello di x/x, ossia è 1.

  Per altri commenti: Infiniti e infinitesimi neGli Oggetti Matematici.

Facciamo, comunque, una verifica anche numerica; qui usiamo la nostra calcolatrice (vedi):

mettendo il termine con Q al posto di x in d e mettendo in g valori man mano più grandi:

(sqrt(Q+1) + 3*Q) / (2 + Q + sqrt(Q))
1e10, 1e20, 1e30, 1e40
clicco [F] e in k ottengo:
2.9999799996000083, 2.9999999998, 2.9999999999999987, 3
(Q + cos(Q)) / (Q + sin(Q))
1e10, 1e20, 1e30, 1e40
clicco [F] e in k ottengo:
1.0000000001360627, 1, 1, 1

Usando R:

f = function(x) (sqrt(x+1)+3*x)/(2+x+sqrt(x))
g = function(x) (x+cos(x))/(x+sin(x))
x = 10^(6:14); x; f(x)
# 1e+06    1e+07    1e+08    1e+09    1e+10    1e+11    1e+12    1e+13    1e+14
# 2.997996 2.999367 2.999800 2.999937 2.999980 2.999994 2.999998 2.999999 3.000000
x = 10^(2:9); x; g(x)
# 1e+02     1e+03     1e+04     1e+05     1e+06     1e+07     1e+08     1e+09
# 1.0137565 0.9997357 0.9999353 0.9999896 1.0000013 0.9999999 1.0000000 1.0000000