Studia i limiti per x → ∞ di   √(x+1) + 3x   e di   x + cos(x)
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2 + x + √x x + sin(x)

3x tende all'infinito più velocemente di √(x+1) e x più velocemente di 2+√x, quindi il limite equivale a quello di 3x/x, ossia è 3.
In x + cos(x) e x + sin(x) mentre x tende all'infinito l'altro addendo è limitato, quindi il limite del loro rapporto equivale a quello di x/x, ossia è 1.

  Per altri commenti: Infiniti e infinitesimi neGli Oggetti Matematici.

Facciamo, comunque, una verifica anche numerica (qui usiamo R):

f = function(x) (sqrt(x+1)+3*x)/(2+x+sqrt(x))
g = function(x) (x+cos(x))/(x+sin(x))
x = 10^(6:14); x; f(x)
# 1e+06    1e+07    1e+08    1e+09    1e+10    1e+11    1e+12    1e+13    1e+14
# 2.997996 2.999367 2.999800 2.999937 2.999980 2.999994 2.999998 2.999999 3.000000
x = 10^(2:9); x; g(x)
# 1e+02     1e+03     1e+04     1e+05     1e+06     1e+07     1e+08     1e+09
# 1.0137565 0.9997357 0.9999353 0.9999896 1.0000013 0.9999999 1.0000000 1.0000000