Sai trovare una funzione F definita e iniettiva in tutto in [−1,1] tale che F(0) = −1, e tale che sia per x → 1, sia per x → −1 esista il limite di F(x) ed esso valga 1?  [puoi limitarti a descriverla graficamente]

Utilizziamo la figura a lato per ricordare le richieste:
• F(0) = −1 (pallino blu),
• per x → 1 e per x → −1  F(x) → 1 (pallini celesti),
• iniettività: per ogni h in [−1,1] se F(h) = y (pallino giallo) non ci sono altri k in [−1,1] tali che F(k) = y.
 
  

Sotto sono tracciati i grafici di tre esempi di funzione tra gli infiniti che si possono considerare.
Il grafico deve essere costituito da tratti comunque realizzati a patto che (affinché la funzione sia iniettiva) con rette orizzontali essi abbiano al più un punto di intersezione.
Inoltre, affinché la funzione sia definita per ogni numero tra −1 ed 1, occorre che ogni retta verticale ad ascissa tra −1 ed 1 intersechi il grafico esattamente in un punto.
Poi, il grafico deve contenere il punto (−1,0) e bisogna che avvicinandosi l'ascissa ad 1 o a −1 l'ordinata si avvicini sempre più ad 1. In 1 e −1 la funzione però non deve assumere lo stesso valore.


Non ci interessa trovare l'epressione analitica delle funzioni (solo per tracciare il grafico della terza col computer occorre farlo). L'esercizio può essere utile per mettere in luce eventuali misconcezioni generate da un insegnamento in cui vengano considerate inizialmente solo funzioni continue.

Sotto, per chi è interessato, come sono stati tracciati i tre grafici con R. Per l'uso di R, vedi.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5
Plane(-1.5,1.5, -1,2)
POINT(-1,0,"blue"); POINT(1,1,"blue"); POINT(0,-1,"blue")
segm(-1,1, 0,2, "blue"); segm(0,0, 1,1, "blue")
pointO(-1,1,"blue"); pointO(0,2,"blue"); pointO(0,0,"blue")

Plane(-1.5,1.5, -1,2)
segm(0,-1, -1,1, "blue"); segm(0,1.5, 1,1, "blue")
POINT(0,-1,"blue")
pointO(-1,1, "blue"); pointO(1,1, "blue"); pointO(0,1.5, "blue")
POINT(1,1.5,4); POINT(-1,2,4)

f <- function(x) ifelse(x>0, 1/x,-x)
Plane(-1.5,1.5, -3,10)
grafico(f,-1,1, "blue"); POINT(1,1,4)
POINT(0,-1,4); POINT(-1,-2,4)
pointO(0,0,4); pointO(-1,1,4)