Si considerino le funzioni (a input e output reali) definite a fianco e se ne schizzi il grafico tenendo conto del loro comportamento al tendere dell'input verso gli estremi degli intervalli in cui sono definite.   F1: x → 2x
F2: x → x3 – 1
F3: x → 3 + 4/x + 1/x3
F4: x → (3 + x) / (x – 4)
F5: x → 2–x

F1, F2 e F5 sono definite ovunque, ossia in (-, ). Quindi dovremo studiarne il comportamento quando l'input tende a e a -. Il termine F3(x) (che contiene divisioni per x e per x3) non è definito per x=0, quindi dovremo studiarlo anche quando x 0- e quando x 0+. Analogamente dovremo studiare F4(x) (che contiene divisioni per x-4) anche quando x 4- e quando x 4+. Consideriamo le funzioni una per una.
F1)  2x cresce al crescere di x.
Questo è evidente per gli x interi: le potenze di 2 sono tutti numeri positivi e per passare, ad es., da 23 a 24 moltiplico per 2 e, quindi, ottengo un numero più grande; in generale: 2n+1 = 2n·2 > 2n. Ancora più in generale, se h è 0.1 o 0.01 o 0.001 o …, 2x+h = 2x·2h > 2x in quanto 20.1 = 21/10 = "numero che elevato alla 10 fa 2" > 1 (se fosse più piccolo di 1 mopltiplicandolo ripetutamente per esso stesso si otterrebbe un numero che rimarrebbe più piccolo di 1), 20.01 = 21/100 = … > 1, ecc. Comunque si apportino aumenti a x 2x cresce.
Inoltre posso trovare x tale che 2x sia grande quanto voglio: se ad es. prendo 109, dato che 24 = 16 > 10, ho che 236 = (24)9 > 109. Quindi 2x per x .
Per come abbiamo definito le potenze, 2x > 0. E posso trovarne un valore vicino a 0 quanto voglio: se ad es. prendo 10-9 ho che 2-36 = (24)-9 < 10-9 in quanto 1/169 < 1/109. Quindi 2x 0 per x -.
Il grafico di x → 2x ha quindi un andamento come quello rappresentato sotto a sinistra.

F2)  x3 cresce al crescere di x e non ha limitazioni superiori (per ogni input x maggiore di 1 l'output x3 è ad esso superiore); quindi x3 per x . La parte di grafico a sinistra dell'asse y può essere ottenuta dall'altra parte per simmetria rispetto (ovvero mediante una rotazione di 180° attorno) all'origine; quindi x3 - per x -.  x → x3–1 ha grafico traslato in basso di 1 e uguali comportamenti agli estremi del dominio.

F3)  x → 4/x rappresenta una relazione di proporzionalità inversa; il suo grafico è un'iperbole; tende a 0 per x e per x -, tende a per x 0+, tende a - per x 0-. x → 1/x3 ha un andamento simile. La funzione somma di esse avrà quindi un andamento analogo, e x → 3 + 4/x + 1/x3 rispetto a questa avrà grafico traslato verso l'alto di 3: vedi figura.

F4)  (3+x)/(x-4) non è definito per x=4, quindi dobbiamo studiare il suo comportamento per x 4+ e x 4- oltre che per x e x -. Potremmo ragionare direttamente su questo termine, ma è utile manipolarlo, in uno dei due seguenti modi:
Eseguire la divisione tra i due polinomi x+3 e x-4: il quoziente è 1 e il resto è 7, per cui (3+x)/(x-4) equivale a 1+7/(x-4): il grafico è l'iperbole y=7/x traslata a destra di 4 e in alto di 1. F4(x) tende quindi a 1 per x e x -, a e a - per x che tende a 4 rispettivamente da destra e da sinistra.
Dividere i fattori del rapporto per x, in modo da trasformare il termine (x+3)/(x-4) in (1+3/x)/(1-4/x) (tenendo presente che è equivalente al precedente solo per x0 e x4, dove sono entrambi definiti). Questa forma consente di osservare facilmente che per x e x - 3/x e 4/x tendono a 0 e quindi (1+3/x)/(1-4/x) tende a 1/1, ossia a 1. Per studiare il comportamento per x 4+ e x 4- questa trasformazione non ci è di aiuto: occorre ragionare sul termine di partenza o indifferentemente sul trasformato, osservare che avvicinandosi a 4 il primo termine del rapporto tende ad assumere un valore maggiore di 0 e che il secondo termine tende a 0 restando positivo o negativo a seconda che si arrivi a 4 da destra o da sinistra, concludendo che nel primo caso il limite è e nel secondo è -.

F5)  x →2–x ha grafico simmetrico rispetto all'asse y a quello di x →2x in quanto le due funzioni danno lo stesso output se si danno ad esse input opposti. Quindi, per quanto visto a proposito di F1, 2–x 0 per x , 2–x per x -.

Come fare i grafici con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.3; HF=2.3
F1 = function(x) 2^x; graphF(F1,-5,2, "blue")
x = c(-1,0,1,2); POINT(x,F1(x), "red")
type(-1.5,2.5,"F1")
#
F2 = function(x) x^3-1; graphF(F2,-2,2, "blue")
x = c(-1,0,1,2); POINT(x,F1(x), "red")
type(0.5,2.5,"F2")
#
F3 = function(x) 3+4/x+1/x^3
Plane(-10,10, -5,10); graph(F3,-10,10, "blue")
LInea(-20,3, 20,3, "red")
type(-2.5,7.5,"F3")
#
F4 = function(x)  (3+x)/(x-4)
Plane(-10,15, -5,7); graph(F4,-10,15, "blue")
LIne(4,-10, 4,10, "red")
type(-7.5,4,"F4")

  Per altri commenti: limiti, strutture numeriche (per il significato di 2x), funzione(2) e trasf. geometriche (per traslazioni e simmetrie di grafici), funz. polinomiali (per la divis. tra polinomi) neGli Oggetti Matematici.