La funzione F: x → (2^x – 1) / x  non è definita per x=0. È possibile definire una funzione G continua in tutto R che coincide con F per tutti gli altri input (la cosa può essere dimostrata; qui limitiamoci a prenderla per buona). Si approssimi il valore di G(0) a 6 cifre. Si affronti il problema usando opportunamente una calcolatrice tascabile.

Tracciando il grafico di F "a mano" o con l'aiuto del computer intuisco che F sia per x0+ che per x0- tende a un certo numero, che potrò assumere come G(0). Non ci preocupiamo di una dimostrazione rigorosa di questo fatto, in quanto il testo dell'esercizio ci dice di prendere per buono il fatto che si possa definire G che abbia questa proprietà

Con una CT calcoliamo F(x), ossia (2x – 1) / x  per valori di x man mano più vicini a 0, ottenendo:

x = 0.1 F(x) = 0.7177346254 x = 0.01 F(x) = 0.6955550057 x = 0.001 F(x) = 0.6933874626 x = 0.0001 F(x) = 0.6931712038 x = 0.00001 F(x) = 0.6931495828 x = 0.000001 F(x) = 0.6931474208 x = 0.0000001 F(x) = 0.6931472046 x = 0.00000001 F(x) = 0.6931471830 x = 0.000000001  F(x) = 0.6931471808

Si può anche notare che ad ogni divisione di x per 10, ossia man mano che si divide per 10 la distanza dal valore a chi facciamo tendere x, la variazione tra un output e il successivo è man mano più piccola, ossia i valori tendono a stabilizzarsi (si può osservare che al primo passo la variazione è 0.02, poi 0.002, poi 0.0002, …). Possiamo assumere 0.693147 come arrotondamento a 6 cifre del limite per x che tende a 0+ di F e quindi come valore di G(0). Se non avessimo saputo che la funzione era "prolungabile" in 0 in modo da essere continua, avremmo dovuto studiare il limite anche per x che tende a 0-. Avremmo ottenuto una stabilizzazione sullo stesso valore (che avremmo potuto precisare meglio come compreso tra 0.6931471803 e 0.6931471808):

...	...
x = -0.0000001	F(x) = 0.6931472046
x = -0.00000001	F(x) = 0.6931471782
x = -0.000000001	F(x) = 0.6931471803

Con considerazioni teoriche meno elementari, una volta introdotta la funzione "logarimo naturale" (ln o log), si può stabilire che il valore esatto del limite è ln(2) (= 0.693147180559945309417…).

            (pow(2,M)-1)/ M
M=1e-4 -> 0.6931712037649973
M=1e-5 -> 0.6931495828199629   var = 2.1620945034439565e-5
M=1e-6 -> 0.6931474207938493   var = 2.162026113583515e-6
M=1e-7 -> 0.6931472040783149   var = 2.1671553440683056e-7
M=1e-8 -> 0.6931471840943004   var = 1.9984014443252818e-8    
log(2) = 0.6931471805599453

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