Si considerino le funzioni (a input e output reali) definite a fianco e se ne schizzi il grafico tenendo conto del loro comportamento al tendere dell'input verso gli estremi degli intervalli in cui sono definite.   G1: x → sin(x) · x
G2: x → sin(x) · 1.1x

In entrambi i casi (x → sin(x) · x, x → sin(x) · 1.1x) le considerazioni svolte valgono sia che x sia espresso in gradi sia che sia espresso i radianti. I grafici riprodotti sono riferiti (come si fa di solito nello studio astratto della matematica) all'uso dei radianti, ma l'andamento sarebbe lo stesso impiegando i gradi. Se considerassimo i gradi, comunque, a rigore dovremmo scrivere sin(x°) invece di sin(x).

G1: x → sin(x)*x è definita per ogni input. sin(x) oscilla tra 1 e -1, quindi G1(x) oscilla tra valori positivi e negativi sia per x → ∞ che per x → -∞ e arriva ad assumere valori assoluti man mano sempre più grandi, senza alcuna limitazione: infatti quando sin(x) vale 1 G1(x) vale x e quando sin(x) vale -1 G1(x) vale -x. Quindi non esistono i limiti né per x → ∞ né per x → ∞. Inoltre G1(0) = sin(0)*0 = 0. Infine sin(-x)*(-x) = -sin(x)*(-x) = sin(x)*x, quindi il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. Possiamo concludere che il grafico di G1 ha un andamento come quello rappresentato a destra.
 G2: x → sin(x)·1.1x è definita per ogni input. In quanto sin(x) oscilla tra 1 e -1, G2(x) oscilla tra 1.1x e -1.1x. Per x → -∞ sia 1.1x che -1.1x tendono a 0, quindi anche G2(x) tende a 0. Per x → ∞ non ha limite in quanto quando sin(x) vale 1 G2(x) vale 1.1x e in questi punti cresce oltre ogni limite mentre quando sin(x) vale -1 vale -1.1x e in questi punti scende al di sotto di ogni limite. Possiamo concludere che il grafico di G2 ha un andamento come quello rappresentato a sinistra.

  Per altri commenti: direz. e funzioni circolari (per l'uso dei redianti) e limiti neGli Oggetti Matematici, e la soluzione dell'esercizio precedente.

Come fare i grafici con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")  # se non hai giÓ caricato il file
BF=3.5; HF=3
G1 = function(x) sin(x)*x; G2 = function(x) sin(x)*1.1^x
Plane(-6*pi,6*pi, -6*pi,6*pi)
6*pi
# 18.84956
f = function(x) x; g = function(x) -x
graph1(f, -20,20, "red"); graph1(g, -20,20, "red")
graph2(G1,-20,20, "brown")
text(14,-6,"G1",cex=0.9)
#
Plane(-15,30, -18,15)
h = function(x) 1.1^x; k = function(x) -1.1^x
graph1(h, -20,40, "red"); graph1(k, -20,40, "red")
graph2(G2,-20,40, "brown")
text(26.5,-8,"G2",cex=0.9)
text(15,7.5,"y=1.1^x",cex=0.8)