Suddivido un segmento lungo 1 in N segmentini uguali e costruisco su ciascuno di questi un triangolo equilatero che abbia il segmentino come lato. Esprimi in funzione di N il perimetro e l'area della figura "dentata" che hai ottenuto e calcolane il limite per N → ∞.

Sia P(N) il perimetro. Se N=1 abbiamo un unico triangolo, che ha come perimetro 1·3 = 3. Per N=2 la nuova figura ha lo stesso perimetro. Infatti - vedi illustrazione a lato - la nuova figura è ottenibile da quella precedente "ripiegandola" in modo che il punto A vada sul punto B. Precisando questa intuizione, osserviamo che se raddoppio (o moltiplico per k) il numero dei triangoli dimezzo (divido per k) le dimensioni dei lati, per cui il perimetro complessivo (che è la somma dei perimetri dei triangoli) rimane invariato. Dunque per ogni N P(N)=3. Quindi il limite per N → ∞ è 3.
Si noti che, in qualche modo, questo esito cozza con l'intuizione: la figura tende a confondersi col segmento, che è lungo 1; anche se pensassimo di percorrerlo in entrambe le direzioni in modo da tornare nel punto di partenza, avremmo un percorso lungo 2, diverso da 3.
  
Sia A(N) l'area. Per N=2 la nuova figura ha area dimezzata rispetto a N=1. Infatti - vedi illustrazione - la nuova figura è ottenibile da quella precedente togliendo 2 tra i quattro triangoli uguali in cui la si può scomporre. In generale, A(N) = A(1)/N (cosa facile da verificare).
Quindi il limite per N → ∞ di A(N) è 0.

  Per altri commenti: limiti neGli Oggetti Matematici.

Come fare la figura con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")  # se non hai giÓ caricato il file
BF=3; HF=3
PLANE(0,1, -0.1,0.9)
x=c(0,1,1/2); y=c(0,0,sqrt(3)/2); polyC(x,y, "violet")
x=c(0,1/2,1/4); y=c(0,0,sqrt(3)/4); polyC(x,y, "cyan")
x=c(0,1/2,1/4)+1/2; y=c(0,0,sqrt(3)/4); polyC(x,y, "cyan")
x=c(0,1/4,1/8); y=c(0,0,sqrt(3)/8); polyC(x,y, "yellow")
x=c(0,1/4,1/8)+1/4; y=c(0,0,sqrt(3)/8); polyC(x,y, "yellow")
x=c(0,1/4,1/8)+2/4; y=c(0,0,sqrt(3)/8); polyC(x,y, "yellow")
x=c(0,1/4,1/8)+3/4; y=c(0,0,sqrt(3)/8); polyC(x,y, "yellow")
line(1/4,sqrt(3)/4, 3/4,sqrt(3)/4, "blue")
Point(1/2,sqrt(3)/2,"blue")
text(0.57,0.9,font=2,"A")
Point(1/2,0,"blue")
text(0.55,-0.05,font=2,"B")