Determina, se esistono:
lim_{x →∞}(x²-3x^5/3+2)     lim_{x →∞}(x²·sin(x))     lim_{x →∞}tan(1/x))     lim_{x →125}(x⁴+x+1)^5–x1/3
lim_{x →∞}tan(sin(x))     lim_{x →0}((2x³-8)/(x-3)³)     lim_{x →1}((πx²-π)^1/2/(x-1))

(1)  Usando la o-notazione e ≈ per l'"eguaglianza asintotica", x²-3x^5/3+2 ≈ x² per x → ∞ in quanto x^5/3 = o(x²) (infatti 2>5/3) e 2 = o(x²). Quindi il limite è infinito.

(2)  x²·sin(x) non ha limite per x → ∞: vedi le considerazioni su x·sin(x).

(3)  tan(1/x) per x → ∞ si comporta come tan(u) per u → 0+; tan è continua, quindi tan(u) → tan(0) = 0

(4)  Sia u = 5–x^1/3. Per x → 125 si ha u → 0. Per x → 125 si ha x⁴+x+1 → H=125⁴+125+1 in quanto si tratta di una funzione continua. H non è 0. Quindi lim_{x →125}(x⁴+x+1)^5–x1/3 = H⁰ = 1.

(5)  Sia u = sin(x). Per x → ∞ u oscilla tra -1 e 1. Quindi tan(u) oscilla tra tan(1) e tan(-1), che sono valori diversi. Quindi lim_{x →∞}tan(sin(x)) non esiste (il valore di tan(sin(x)) è limitato, in quanto sta tra tan(-1) e tan(1), e comunque prenda x grande trovo due input successivi in cui la funzione salta tra tan(-1) e tan(1), per cui non può tendere a stabilizzarsi sul alcun valore).

(6)  Non facciamoci ingannare. La funzione è definita in 0 e è continua in tutto il suo dominio, quindi lim_{x →0}(2x³-8)/(x-3)³ = -8/(-3)³ = 8/27

(7)  (πx²-π)^1/2/(x-1) = √π √((x-1)²) / (x-1) è definito per x>1 e x<-1. Quindi faccio il limite per x →1+.
√π √((x-1)²) / (x-1) = √π √(x+1) √(x-1) / (x-1).
Per x →1+  (x+1)→2, quindi √π √(x+1) → √(2π) .
√(x-1) / (x-1) = (x-1)^-1/2 = 1/√(x-1) → 1/0+ = ∞
√π √(x+1) √(x-1) / (x-1) → √(2π)·∞ = ∞

Per capire puņ essere utile vedere le cose graficamente:

Come fare i grafici con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5
f = function(x) x^2-3*x^(5/3)+2; graph2(f, 0,1e2,"brown")
f = function(x) x^2*sin(x); graph2F(f, 0,1e2,"brown")
f = function(x) tan(1/x); graph2F(f, 1,1e2,"brown")
f = function(x) (x^4+x+1)^(5-x^(1/3)); graph2F(f, 120,130,"brown")
f(125)          # 1
f = function(x) tan(sin(x)); graph2F(f, 1,50,"brown")
f = function(x) (2*x^3-8)/(x-3)^3; graph2F(f, -1,1,"brown")
f(0)            # 0.2962963
fraction(f(0))  # 8/27
f = function(x) (pi*x^2-pi)^(1/2)/(x-1); graph2F(f, -1,3,"brown")