Un proiettile è lanciato da terra verso l'alto, verticalmente. Se la sua altezza H in metri in funzione del tempo t (in secondi) trascorso dal lancio è data dalla formula  H = 45 t – 4.9 t²,  qual era la velocità di lancio? qual è l'altezza massima raggiunta dal proiettile? qual è la velocità che aveva quando ha toccato terra?

H(t) è polinomio di 2° grado in t con coefficiente direttivo negativo.
H'(t) = Dt(45 t – 4.9t2) = 45 – 9.8 t
La velocità iniziale è H'(0) = 45 (m/s).

L'altezza smette di crescere quando H'(t)=0, ossia per t = 45/9.8.
In tale istante H = 45·45/9.8 – 4.9(45/9.8)2 = 45·45/9.8(1 – 4.9/9.8) = 45·45/9.8/2 = 103.31…, che arrotondo a 103 (m).

Il proiettile è a terra quando H=0, ossia 45 t – 4.9t2 = t(45 t – 4.9t) = 0. Una soluzione è t=0 (lancio), l'altra è t = 45/4.9. In tale istante la velocità con cui varia H è 45 – 9.8·45/4.9 = 45 – 90 = –45:
stesso valore assoluto e segno opposto rispetto alla velocità di lancio.
È quanto ci dovevamo aspettare tenendo conto che il grafico di H = 45 t – 4.9t2 è simmetrico rispetto alla retta passante per il vertice: la pendenza della tangente nei punti di intersezione con l'asse x deve essere opposta.

Grafico e calcoli con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
H = function(t) 45*t - 4.9*t^2
BF=3; HF=3
graph2F( H,0,10, "blue")
t1 = solution(H,0, 8,10) # 9.183673
POINT(t1,0,"red")
deriv(H,"t")             # 45-4.9*(2*t)
v = function(t) -9.8*t+45
v(0)                     # 45
t2= solution(v,0, 0,10)  # 4.591837 t. in cui H max
H(t2)                    # 103.3163 (→ 103)
POINT(t2,H(t2),"green")
v(t1)                    # -45
# L'altezza  trovabile anche cercando direttamente max
tm = minmax(H, 0,10); Hm = H(tm); c(tm,Hm)
#  4.591837  103.316327