Siano f e g due funzioni definite in IR. Se g ha periodo T possiamo concludere che le due seguenti funzioni sono periodiche ed, eventualmente, quale periodo hanno?
   x → g(f(x)),    x → f(g(x)).

• So che, per ogni x numero reale, g(x+T) = g(x). Quindi f(g(x+T)) = f(g(x)). Dunque f(g(.)) ha sicuramente periodo T o T diviso per un intero maggiore di 1, o è costante. Ad esempio se considero g: x → sin(x/2) (grafico blu sottostante), che ha periodo 4π, e come f prendo la funzione cos, anch'essa periodica, ho che f(g(x)) = cos(sin(x/2)) (grafico verde sottostante) ha periodo pari a 2π; si noti che se, invece, come f prendessi sin il periodo non si ridurrebbe. Se come f prendo, invece, una funzione costante, o, per esempio, una funzione che coincide, nell'immagine di g, con la funzione inversa di g, otterrei una funzione costante.

• So che, per ogni x numero reale, g(x+T) = g(x). Su g(f(.)) non posso concludere nulla:
– se f è periodica o costante, tale sarà anche la funzione composta (vedi quanto detto sopra);
– se f: x → x la funzione composta, che coincide con g, ha periodo T;
– se, ad esempio, f: x → x² e g è la funzione periodica parte intera (), la funzione composta g(f(.)) non è periodica:

Per altri eventuali commenti: periodo e frequenza neGli Oggetti Matematici.