I cateti di un triangolo rettangolo devono essere complessivamente lunghi 10 m. Come devo prenderli affinché l'area del triangolo sia massima?
Sia L la lunghezza in metri di uno dei due cateti. L'altro è lungo, in metri,
L−10. L'area del triangolo rettangolo che li ha per cateti è
L·(10−L)/2. È massima quando è massimo L·(10−L).
L → L·(10−L) ha per grafico una parabola con la concavità rivolta
verso il basso; assume valore massimo nel vertice, che è il punto in cui
si annulla la sua derivata.
DL L·(10−L) =
DL 10·L−L² =
10−2L si annulla quando L = 5.
Vedi anche il quesito 6a.9.
In questo caso i calcoli sono tutti fattibili facilmente a mano. In casi più complessi si può ricorrere al computer; ecco come, in questo caso, si potrebbe procedere con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") A = function(L) L*(10-L) BF=4; HF=3 graphF( A,-1,11, "grey" ) graph( A, 0,10, "brown" ) # L puo' andare da 0 a 10 maxmin(A,0,10) # 5 L per cui l'area è massima # ovvero, usando la derivazione deriv(A,"L") # (10 - L) - L dA = function(L) 10-2*L # ovvero: dA = function(L) eval( deriv(A,"L") ) solution(dA,0, 0,10) # cerco quando dA = 0 tra 0 e 10 # 5