I cateti di un triangolo rettangolo devono essere complessivamente lunghi 10 m. Come devo prenderli affinché l'area del triangolo sia massima?

Sia L la lunghezza in metri di uno dei due cateti. L'altro è lungo, in metri, L−10. L'area del triangolo rettangolo che li ha per cateti è L·(10−L)/2. È massima quando è massimo L·(10−L).
L → L·(10−L) ha per grafico una parabola con la concavità rivolta verso il basso; assume valore massimo nel vertice, che è il punto in cui si annulla la sua derivata.
DL L·(10−L) = DL 10·L−L² = 10−2L  si annulla quando L = 5.

Vedi anche il quesito 6a.9.

In questo caso i calcoli sono tutti fattibili facilmente a mano. In casi più complessi si può ricorrere al computer; ecco come, in questo caso, si potrebbe procedere con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A = function(L) L*(10-L)
BF=4; HF=3
graphF( A,-1,11, "grey" )
graph( A, 0,10, "brown" )   # L puo' andare da 0 a 10
maxmin(A,0,10)
#  5             L per cui l'area  massima
# ovvero, usando la derivazione
deriv(A,"L")
#  (10 - L) - L
dA = function(L) 10-2*L
# ovvero:  dA = function(L) eval( deriv(A,"L") )
solution(dA,0, 0,10)  # cerco quando dA = 0  tra 0 e 10
#   5