Schizza il grafico della seguente funzione, e controllalo, poi, al computer mediante una opportuna applicazione. Stabilisci se è possibile estendere la funzione ad un dominio più ampio in modo che in esso sia continua.
  x → (x2 + x) / (x · (|x| – 1) )

Ci conviene prima operare qualche manipolazione algebrica:

(x2 + x) / (x · (|x| – 1) ) equivale a (x · (x + 1) ) / (x · (|x| – 1) ) che:
se x > 0 equivale a (x+1)/(x–1),
se x < 0 equivale a (x+1)/(–x–1) = –1
se x = 0 è indefinito.

A sinistra dell'asse y il grafico coincide con la retta y = –1.

A destra dell'asse y il grafico coincide con y = (x+1)/(x–1), ossia y = 1+2/(x–1) (iperbole con asintoti x=1 e y=1)

[ci si può arrivare facendo la divisione: 1 con resto 2, o con: (x+1)/(x–1) = ((x–1)+1+1)/(x–1) = 1+2/(x–1)]

Per x = 0 sia la retta che l'iperbole hanno y = –1. Quindi lì il grafico della nostra funzione (chiamiamola F) tende a congiungersi, senza arrivare a farlo in quanto ivi la funzione non è definita:
limx → 0+F(x) = limx → 0–F(x) = –1.

    Ecco, a destra il grafico ottenuto con  questo  script.
In (0,–1) il grafico ha un "buco" (che tracciando il grafico al computer "sfugge"). L'ho rappresentato aggiungendo uno specifico comando.
    
    Il grafico è ottenibile facilmente anche con WolframAlpha:
plot (x^2 + x) / (x * (|x| - 1) ), -3 < x < 3
o con:

plot piecewise[ { {(x^2+x)/(x*(|x|-1)),-3<x<-0.1}, {(x^2+x)/(x*(|x|-1)),0.1<x<3}, {50,-0.1<=x<=0.1}} ],x=-3..3

Se definisco
G(x) = –1 se x=0, G(x) = F(x) =(x2 + x) / (x · (|x| – 1) ) altrimenti,
ottengo una funzione G che nel suo dominio (l'insieme dei numeri reali diversi da 1) è continua e coincide con la funzione F iniziale nel dominio di essa. Non è possibile estenderci a tutto l'intervallo dei numeri reali in quanto per x = 1 l'iperbole ha un asintoto.

Per altri commenti: limiti neGli Oggetti Matematici.