Schizza il grafico della seguente funzione, e controllalo, poi, al computer mediante una opportuna applicazione.
Stabilisci se è possibile estendere la funzione ad un dominio più ampio in modo che in esso sia continua.
x → (x2 + x) / (x · (|x| 1) )
Ci conviene prima operare qualche manipolazione algebrica:
(x2 + x) / (x · (|x| 1) )
equivale a
(x · (x + 1) ) / (x · (|x| 1) ) che:
se x > 0 equivale a (x+1)/(x1),
se x < 0 equivale a (x+1)/(x1) = 1
se x = 0 è indefinito.
A sinistra dell'asse y il grafico coincide con la retta y = 1.
A destra dell'asse y il grafico coincide con y = (x+1)/(x1), ossia y = 1+2/(x1) (iperbole con asintoti x=1 e y=1)
[ci si può arrivare facendo la divisione: 1 con resto 2, o con: (x+1)/(x1) = ((x1)+1+1)/(x1) = 1+2/(x1)]
Per x = 0 sia la retta che l'iperbole hanno y = 1.
Quindi lì il grafico della nostra funzione (chiamiamola F) tende a congiungersi, senza arrivare a farlo in quanto ivi la funzione non è definita:
limx → 0+F(x) = limx → 0F(x) = 1.
Ecco, a destra il grafico ottenuto con questo
script. In (0,1) il grafico ha un "buco" (che tracciando il grafico al computer "sfugge"). L'ho rappresentato aggiungendo uno specifico comando. | |
Il grafico è ottenibile facilmente anche con WolframAlpha: plot (x^2 + x) / (x * (|x| - 1) ), -3 < x < 3 |
plot piecewise[ { {(x^2+x)/(x*(|x|-1)),-3<x<-0.1}, {(x^2+x)/(x*(|x|-1)),0.1<x<3}, {50,-0.1<=x<=0.1}} ],x=-3..3
Se definisco
G(x) = 1 se x=0, G(x) = F(x) =(x2 + x) / (x · (|x| 1) ) altrimenti,
ottengo una funzione G che nel suo dominio (l'insieme dei numeri reali diversi da 1)
è continua e coincide con la funzione F iniziale nel dominio di essa.
Non è possibile estenderci a tutto l'intervallo dei numeri reali in quanto per x = 1 l'iperbole ha un asintoto.
Per altri commenti: limiti neGli Oggetti Matematici.