Se aumento di 1 decimo la lunghezza del lato di un cubo qual è la velocità media di variazione del volume rispetto alla misura del lato. E se l'aumento di 1 centesimo? E se l'aumento di 1 millesimo?

[Traccia. Siano L il lato e V il volume iniziali. Considera poi il nuovo lato L · (1+1/10), calcola il nuovo volume e il rapporto tra variazione del volume e variazione del lato. E così via]

Procedendo in questo modo, individua la velocità di variazione del volume di un cubo rispetto alla misura del lato (senza usare direttamente la derivazione, se conosci già tale tecnica).

Un cubo di lato L ha volume V = L3.
Se aumento il lato di un decimo esso diventa L·1.1, e il volume diventa (L·1.1)3 = L3·1.13 = L3·1.331.
VariazioneVolume / VariazioneLato = (L3·1.331 – L3) / (L·0.1) = L2·(1.331 – 1) / 0.1 = 3.31·L2
Se aumento il lato di un centesimo esso diventa L·1.01, e il volume diventa (L·1.01)3 = L3·1.030301.
VariazioneVolume / VariazioneLato = (L3·1.030301 – L3) / (L·0.01) = 3.0301·L2
Se aumento il lato di 1/1000 esso diventa L·1.001, e il volume diventa (L·1.001)3 = L3·1.003003001.
VariazioneVolume / VariazioneLato = (L3·1.003003001 – L3) / (L·0.01) = 3.003001·L2
Proseguendo, rimpicciolendo sempre più la variazione di L, la velocità media di variazione di V rispetto a L tende a stabilizzarsi su 3·L2
[conoscendo la tecnica della derivazione otterremmo direttamente:
    d V / d L  =  d L3 / d L  =  3 L2 ]

Per altri commenti: velocità di variazione [e derivata e differenziale] neGli Oggetti Matematici.