Sotto sono riprodotte le fotografie di un'auto che (inizialmente) viaggia a velocità costante, scattate ogni mezzo secondo a partire da quando l'autista intravede un ostacolo e (con un tempo di reazione 1.5 sec) inizia a frenare.
– Valuta la velocità inziale dell'auto.
– Traccia i grafici della posizione dell'auto e della sua velocità in funzione del tempo (a partire dalla posizione e dall'istante in cui incomincia la frenata).
– Valuta in modo opportuno come varia la velocità al passare del tempo.

Per 1.5 s (il tempo di reazione dell'autista) l'auto continua a viaggiare a velocità costante. In questo tempo percorre circa 70 m, per cui la velocità (che in questo tratto coincide con la velocità media) è 70 m / (1.5 s) = 140 m / (3 s) = 47 m/s, ovvero 140 (km/1000) / (3 h/60·60) = 140·20·60/1000 km/h = 168 km/h.

La tabella sotto a sinistra riporta le posizioni dell'auto in funzione del tempo trascorso, misurati a partire da quanto l'autista inizia a frenare (dopo 1.5 s, a 70 m dalla posizione della prima foto). Nel grafico a sinistra la tabella è rappresentata graficamente. Al centro è rappresentata graficamente la velocità media nei vari intervallini di tempo, ossia la pendenza del precedente grafico; il grafico oscilla a causa degli errori di arrotondamento (le differenze tra i tempi e gli spazi calcolate risentono delle approssimazioni dei dati). Si vede che approssimativamente la velocità scende con una pendenza -40/7 ≈ -6. Possiamo dire che l'auto perde ogni secondo circa 6 m/s di velocità, ovvero che subisce una decelerazione di circa 6 m/s².
Anche senza fare il grafico a destra si poteva ragionare sulla tabella delle velocità medie (22/0.5 = 44, 22/0.5 = 44, 19/0.5 = 38, 18/0.5 = 36, 17/0.5 = 34, …) e osservare che le variazioni da una velocità media a quella di un secondo dopo oscillano intorno a -6 (38-44 = -6, 36-44 = -8, 34-38 = -4, …).

t s 0 0 0.5 22 1 44 1.5 63 2 81 2.5 98 3 113 3.5 128 4 139 4.5 151 5 160 5.5 168 6 174 6.5 180 7 183 7.5 185 8 187

•  I grafici qui tracciati sono stati realizzati con R vedi, ma si poteva impiegare altro software.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5
t = c(0,0.5, 1,1.5, 2,2.5,  3,3.5,  4,4.5,  5,5.5,  6,6.5,  7,7.5,  8)
s = c(0, 22,44, 63,81, 98,113,128,139,151,160,168,174,180,183,185,187)
# traccio il grafico (t,s)
Plane(0,8, 0,190); POINT(t,s, "red")
abovex("secondi"); abovey("metri")
# traccio il grafico della velocita' media
# la variazione dello spazio
v = 0; for(i in 1:(length(s)-1)) v[i] = (s[i+1]-s[i])/(t[i+1]-t[i])
# i centri degli intervalli di tempo
t1 = 0; for(i in 1:(length(s)-1)) t1[i] = t[i]+(t[i+1]-t[i])/2
c(min(v), max(v))
#  4 44
Plane(0,8, 0,45); POINT(t1,v, "brown")
abovex("secondi"); abovey("metri al secondo")
Point(1,40,"red"); Point(8,0,"red")
line(1,40, 8,0, "blue")
-40/7
# -5.714286
# A scatola nera, come trovare direttamente una retta approssimante (fig. a destra)
regression1(t1,v)
# -5.724 * x + 46.27 
# trovo, circa, la retta v = 46-5.7*t
h = function(x) -5.724 * x + 46.27
graph1(h, 0,8, "seagreen")

•  Ecco un altro procedimento più semplice, utilizzando "a scatola nera" una libreria per calcolare la parabola che "meglio" approssima i dati:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
t = c(0,0.5, 1,1.5, 2,2.5,  3,3.5,  4,4.5,  5,5.5,  6,6.5,  7,7.5,  8)
s = c(0, 22,44, 63,81, 98,113,128,139,151,160,168,174,180,183,185,187)
BF=2.5; HF=2.5
Plane(0,8, 0,190); POINT(t,s, "red")
regression2(t,s)
# -2.9 * x^2 + 46.5 * x + -0.122
f = function(x) -2.9 * x^2 + 46.5 * x + -0.122
Plane(0,8, 0,190);  graph1(f, 0,8, "blue"); POINT(t,s, "red")
# derivo lo spazio in funzione del tempo per trovare la velocità
deriv(f,"x")
# 46.5 - 2.9 * (2 * x)
g = function(x) -5.8*x + 46.5
graph1F(g, 0,8, "brown")

•  Si poteva studiare il problema anche ricorrendo ad alcuni script online:  con questo trovare la funzione polinomiale di 2° grado che approssima i dati:

e con questo tracciare il grafico.

•  Ovvero si può semplicemente usare il software online WolframAlpha. Vedi qui.
quadratic fit {(0,0),(0.5,22),(1,44),(1.5,63),(2,81),(2.5,98),(3,113),(3.5,128),(4,139),(4.5,151),(5,160),(5.5,168),(6,174),(6.5,180),(7,183),(7.5,185),(8,187)}
      -0.121775 + 46.5121 x - 2.90041 x^2     (e immagine sotto a sinistra)
d/dx(-2.90041 x^2 + 46.5121 x - 0.121775) = 46.5121 - 5.80082 x     (calcolo ovviamente fattibile "a mano")
plot 46.5121 - 5.80082 x, 0 < x < 8     (immagine sotto a destra)

Nota bene. Questi dati si riferiscono a una situazione "buona": freni efficienti, autista attento e sobrio, strada asciutta, …. In altre condizioni il tempo di reazione può essere maggiore e il valore assoluto della decelerazione può essere minore, per cui lo spazio di frenata può essere molto maggiore di quello (di circa 250 m) qui indicato.

Per altri commenti: velocità di variazione neGli Oggetti Matematici.